Alexandrov-Čechova kohomologie

Alexandrov-Čechova kohomologie je kohomologická teorie založená na vlastnostech otevřených krytů topologického prostoru . Taková cohomologie se ukazuje jako vhodná při studiu patologických prostorů.

Myšlenka konstrukce spočívá v tom, že pokud je kryt prostoru složen z dostatečně malých sad, pak cohomologie nervu krytu je dobrou aproximací cohomologie samotného prostoru.

Pojmenováno po Alexandrovovi a Čechovi . Obvykle označeno . ${\check {H}}^{*}$

Konstrukce

Dovolit být topologický prostor a být otevřený kryt . Označujeme krycím nervem . $X$ ${\mathcal {V))$ $X$ $N_{\mathcal {V))$ ${\mathcal {V))$

Předpokládejme, že obálka je vepsána do obálky , to znamená, že jakákoliv sada od je obsažena v nějaké sadě od . Zvolme mapování, které se přidruží ke každé množině z množiny obsahující ji z . Toto mapování indukuje mapování nervů . Indukovaný homomorfismus kohomologických kruhů nezávisí na volbě . (Protože pracujeme se simpliciálními komplexy, nezáleží na tom, kterou z kohomologických teorií si vybereme.) ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {V))$ $f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}$ $f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W)),G)$ $F$

Cohomologické kruhy s homomorfismy tvoří inverzní systém. To umožňuje přejít na inverzní limit $H^{*}(N_{\mathcal {V)),G)$ $f^{*}$

{\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).

Výsledný prstenec se nazývá Čechova kohomologie prostoru s koeficienty v . ${\check {H}}^{*}(X,G)$ $X$ $G$

Vztah k jiným cohomologickým teoriím

U patologických prostorů se česká kohomologie může lišit od singulární kohomologie.
- Pokud je například X polský kruh , pak , while ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$ $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$
Jestliže X je homotopie ekvivalentní k CW-komplexu , pak Cech cohomologie je přirozeně izomorfní k singulární cohomologii . ${\check {H}}^{*}(X;A)$ $H^{*}(X;A)$
Jestliže X je hladká varieta , pak Cech kohomologie je přirozeně izomorfní k de Rham kohomologii . ${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$

Odkazy

Alexandrov P. S., „Ann. z matematiky, 1928, v. 30, str. 101-87;
Sech E., "Fundam. matematika.", 1932, t. 19, str. 149-83;
Bott, Raoul ; Loring Tu. Diferenciální formy v algebraické topologii (neurčitá) . - New York: Springer, 1982. - ISBN 0-387-90613-4 .
Hatcher, Allene Algebraická topologie (neurčitá) . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-79540-0 .
Wellsi, RaymondeDiferenciální analýza na komplexních rozdělovačích . - Springer-Verlag , 1980. - ISBN 0-387-90419-0 . Kapitola 2 Příloha A