Komplexní projektivní rovina

Komplexní projektivní rovina je dvourozměrný komplexní projektivní prostor ; je dvourozměrná komplexní varieta , její skutečný rozměr je 4.

Obvykle se označuje . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$

Konstrukce

Body na komplexní projektivní rovině a jsou popsány homogenními komplexními souřadnicemi

(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\ neq(0,0,0).

V tomto případě jsou trojice, které se liší skalárem, považovány za identické:

(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.

Topologie

${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$ je homeomorfní ke kvocientu 5-koule Hopfovou akcí . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3))$ ${\mathbb S}^{1}$

Betty čísla : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, ......

${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2))$ je jednoduše propojený , jeho základní skupina je triviální.
Netriviální homotopické grupy komplexní projektivní roviny jsou $\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$ .

ve vyšších dimenzích jsou homotopické skupiny stejné jako u 5-sféry.

Algebraická geometrie

V biracionální geometrii je komplexní racionální plocha jakákoli algebraická plocha , která je biracionálně ekvivalentní komplexní projektivní rovině. Je známo, že jakákoli nesingulární racionální varieta je získána z roviny jako výsledek sekvence zvětšených transformací a jejich inverzních ("kontrakce") křivek, které musí mít velmi specifický tvar. Jako zvláštní případ , nesingulární komplexní povrchy druhého řádu v P 3 jsou získány z roviny nafouknutím dvou bodů do křivek a následným stažením přímky přes tyto dva body. Inverzní transformace můžeme vidět, když vezmeme bod P na plochu Q druhého řádu, nafoukneme ji a promítneme do obyčejné roviny v P 3 nakreslením přímek skrz P .

Skupinou biracionálních automorfismů komplexní projektivní roviny je Cremonská grupa .

Diferenciální geometrie

Komplexní projektivní rovina je 4-rozměrná varieta. Má přirozenou metriku, takzvanou Fubini -Study metriku, s 1/4-kolíkovým sekčním zakřivením ; to znamená, že jeho maximální zakřivení průřezu je 4 a jeho minimum je 1. Tato metrika je iniciována na faktoru Hopfovou akcí na . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1))$ ${\mathbb S}^{1}$ $\mathbb {S} ^{5}$

Viz také

Poznámky

Literatura

P.S. Alexandrov. Kurz analytické geometrie z lineární algebry. - M. : "Nauka", Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1979. - S. 598.
CE Springer. Geometrie a analýza projektivních prostorů. - W. H. Freeman and Company , 1964. - S. 140-3.
M. Gromov. Znamení a geometrický význam zakřivení. - Iževsk: Výzkumné centrum "Regular and Chaotic Dynamics", 1999. - ISBN 5-93972-020-X .
Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .