Skupina Cremona

Skupina Cremona je skupina biracionálních automorfismů a- dimenzionálního projektivního prostoru nad polem . Skupinu uvedl v úvahu v letech 1863-1865 Luigi Cremona [1] [2] . Skupina je označena jako , nebo . $n$ $k$ $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Cr_{n}(k)$

Cremonská grupa je přirozeně ztotožňována se skupinou automorfismů pole racionálních funkcí neznámých nad , neboli transcendentální extenze pole se stupněm transcendence . $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ $n$ $k$ $k$ $n$

Projektivní plně lineární grupa řádu projektivních transformací je obsažena v cremonské grupě řádu . Shodují se pouze v případech, kdy nebo , ve kterých jsou čitatel a jmenovatel transformace lineární. $n+1$ $n$ $n=0$ $n=1$

Skupina Cremona v prostorech dimenze 2

V prostorech dimenze dvě podal Gizatullin [3] úplný popis vztahů pro systém skupinových generátorů. Struktura této skupiny zůstává ne zcela jasná, i když existuje velké množství prací o hledání jejích prvků či podskupin.

Serge Kanta a Stephane Lamy [4] ukázali, že skupina Cremona není jako abstraktní skupina jednoduchá.
Jeremy Blank ukázal, že skupina nemá žádné netriviální normální podskupiny a je uzavřená v přirozené topologii.
Dolgacheva a Iskovskikh napsali článek o konečných podgrupách skupiny Cremona [5] .

Skupina Cremona v prostorech dimenze 3 nebo více

Málo je známo o struktuře skupiny Cremona v prostorech dimenze 3 a vyšších, ačkoli bylo popsáno mnoho prvků této skupiny. Blank [6] ukázal, že je (cesta) spojena odpovědí na Serrovu otázku [7] . Neexistuje jednoduchá analogie Noether-Castelnuovy věty, protože Hudson [8] ukázal, že Cremonova grupa v dimenzi alespoň 3 není generována svými prvky stupně ohraničenými žádným pevným číslem.

De Jonquièrovy skupiny

Skupina de Jonquière [9] je podskupinou skupiny Cremona následujícího typu. Pro rozšíření pole volíme transcendenční základ . Pak je de Jonquièrova grupa pro některé podskupinou automorfismů mapujících podpole do sebe . Má normální podgrupu danou Cremonskou grupou automorfismů nad polem a kvocientovou grupou je Cremonská grupa nad polem . Lze ji považovat za skupinu biracionálních automorfismů vláknitého snopu . $x_1, ..., x_n$ $k$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $r\leqslant n$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{nr}\to \mathbb {P} ^{r))$

Jestliže a , de Jonquièrova grupa je Cremonova grupa transformací, které zachovávají tužku čar procházející daným bodem, a je polopřímým součinem a . $n=2$ $r=1$ $\mathrm {PGL} _{2}(k)$ $\mathrm {PGL} _{2}(k(t))$

Poznámky

↑ Cremona, 1863 , str. 305–311.
↑ Cremona, 1865 , str. 269-280, 363-376.
↑ Gizatullin, 1982 .
↑ Cantat, Lamy, 2010 .
↑ Dolgačev, Iskovskikh, 2009 .
↑ Blanc, 2010 .
↑ Serre, 2010 .
↑ Hudson, 1927 .
↑ Příjmení se píše různě. Takže I. R. Shafarevich to píše s pomlčkou: de Jonquiere. Shafarevich uvádí následující definici skupiny de Jonquière: de Jonquière transformace: , kde a je libovolný polynom v proměnných . $(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})\to (y_{1},y_{2},\tečky ,y_{n})$ $y_{i}=a_{i}x_{i}+f_{i}(x_{i+1},\tečky ,x_{n}),a_{i}\neq 0$ $f_{i}$ ${\displaystyle x_{i+1},\tečky ,x_{n))$

Literatura

Maria Alberich-Carraminana. Geometrie roviny Cremona map. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2002. - T. 1769. - (Poznámky z přednášky z matematiky). — ISBN 978-3-540-42816-9 . - doi : 10.1007/b82933 .
Jeremy Blanc. Groupes de Cremona, connexité et simplicité // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 2010. - T. 43 , č. 2 . — S. 357–364 . — ISSN 0012-9593 . - doi : 10.24033/asens.2123 .
Serge Cantat, Stephane Lamy. Normální podskupiny ve skupině Cremona // Acta Mathematica. - 2010. - T. 210 , č.p. 2013 . — S. 31–94 . - . - arXiv : 1007.0895 .
Julian Lowell Coolidge. Pojednání o algebraických rovinných křivkách . - Oxford University Press , 1931. - ISBN 978-0-486-49576-7 .
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane . Giornale di matematice di Battaglini. - 1863. - T. 1.
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane // Giornale di matematiche di Battaglini. - 1865. - T. 3 .
Michel Demazure. Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1970. - T. 3 . — S. 507–588 . — ISSN 0012-9593 .
Igor V. Dolgačev. Klasická algebraická geometrie: moderní pohled . - Cambridge University Press , 2012. - ISBN 978-1-107-01765-8 . Archivováno 31. května 2014 na Wayback Machine
Igor V. Dolgačev, Vasilij A. Iskovskikh. Konečné podgrupy roviny Cremona grupa // Algebra, aritmetika a geometrie: na počest Yu. I. Manin. sv. I. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2009. - T. 269. - S. 443-548. - (Progr. Matematika). — ISBN 978-0-8176-4744-5 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4745-2_11 .
Dolgačev I.V., Iskovskikh V.A. Geometrie algebraických variet . - 1974. - T. 12. - S. 77 \u003d 170. - (Výsledky vědy a techniky. Ser. Algebra, Topologie, Geometrie).
Gizatullin M. Kh. Konstitutivní vztahy pro skupinu Cremona roviny // Izv. Akademie věd SSSR .. - 1982. - T. 46 , č. 5 . — S. 211–268 .
Lucien Godeaux. Les Transformations birationelles du plan. - Gauthier-Villars et Cie, 1927. - svazek 22. - (Mémorial des sciences mathématiques).
Michiel Hazewinkel. Cremonská skupina, Cremonská transformace // Encyklopedie matematiky. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hilda Phoebe Hudsonová. Cremonovy transformace v rovině a prostoru . - Cambridge University Press , 1927. - ISBN 978-0-521-35882-8 .
Semple JG, Roth L. Úvod do algebraické geometrie. - The Clarendon Press Oxford University Press, 1985. - (Oxford Science Publications). — ISBN 978-0-19-853363-4 .
Jean-Pierre Serre . Minkowského styl vázaný na řády konečných podgrup cremonské grupy úrovně 2 nad libovolným polem // Moskevský matematický časopis. - 2009. - T. 9 , no. 1 . — S. 193–208 . — ISSN 1609-3321 .
Jean-Pierre Serre . Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis . — Hvězdicový. - 2010. - S. 75-100. — (Seminaire Bourbaki 1000). - ISBN 978-2-85629-291-4 .