Eudoxová křivka

Eudoxova křivka ( řecky : καμπύλη [γραμμή], což v překladu znamená „křivka [přímka]") je křivka s rovnicí v kartézských souřadnicích

x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),

ze kterého je vyloučeno řešení x = y = 0 .

Alternativní parametrizace

V polárním souřadnicovém systému má Eudoxova křivka rovnici

r=a\sec ^{2}\theta .

Ekvivalentně má křivka parametrické znázornění

x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).

Historie

Tuto křivku čtvrtého stupně studoval řecký astronom a matematik Eudoxus z Knidu (408-347 př. n. l.) v souvislosti s klasickým problémem zdvojení krychle .

Vlastnosti

Eudoxova křivka je symetrická jak kolem osy x , tak podle osy y . Protíná osu x v bodech (± a ,0). Křivka má inflexní body

\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)

(čtyři inflexní body, jeden v každém kvadrantu). Horní polovina křivky se asymptoticky blíží jako , a ve skutečnosti můžeme psát $x^{2}/aa/2$ $x\to \infty$

y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac { x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x} }\vpravo)^{2n},

kde

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}

je katalánské číslo . $n$

Poznámky

Literatura

J. Dennis Lawrence. Katalog speciálních rovinných křivek . - Dover Publications, 1972. - S. 141-142 . - ISBN 0-486-60288-5 .

Odkazy

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus" , archiv MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews .
Weisstein, Eric W. Kampyle z Eudoxus (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .