Besicovitchovo lemma na krytinách

Besicovitchovo krycí lemma je klasickým výsledkem kombinatorické geometrie, důležité v teorii míry a blízkému Vitaliho lemmatu .

Prokázáno Besikovičem v roce 1945.

Formulace

Pro každou přirozenost existuje přirozenost taková, že platí následující. Nechť je libovolná množina uzavřených kuliček s poloměry nejvýše 1. Potom můžeme zvolit nejvýše spočetnou množinu kuliček , a to tak, že střed libovolné koule z patří alespoň jedné kouli z a navíc rodina může být rozdělené do podrodin s párově disjunktními kuličkami v každé. $n$ $M=M(n)$ ${\mathfrak B}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathfrak B}'\subset {\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}'$ $M$

Poznámky

Dá se předpokládat, že . ${\displaystyle M(n)=5^{n))$
Optimální konstanta není známa ani pro rovinu; dolní hranice je 8 (vyplývá z příkladu na obrázku) a horní hranice je 19. [1] [2]

Aplikace

Oblast použití Besikovičova lemmatu se blíží oblasti použití Vitaliho lemmatu . Ale Besicovitchovo lemma je použitelné pro libovolné míry, ale pouze pro jednoduché metrické prostory, včetně euklidovského prostoru, zatímco Vitaliho lemma je použitelné na libovolné metrické prostory pro míry s vlastností zdvojení. To druhé znamená, že pro nějakou skutečnou konstantu a libovolnou kouli máme $\mu$ $C$ $B$

\mu (2\cdot B)\leq C\cdot \mu (B)

Variace a zobecnění

Postačující podmínkou pro držení Besicovitchova lemmatu v metrickém prostoru je tzv. ohraničenost ve směrech . Tato vlastnost byla představena v úvahu Herbertem Federerem . [3]

Poznámky

↑ * A. Malnic a B. Mohar. Dva výsledky o antisociálních rodinách kuliček // Proc. čtvrtých československých sympos. o kombinatorice, grafech a složitosti (Prachatice, 1990). - S. 205-207 .
↑ * E. F. Reifenberg. Problém na kruzích // Math. Gaz.. - 1948. - T. 32 . - S. 290-292 .
↑ viz 2.8.9 ve Federer G. Geometrická teorie měření. - 1987. - 760 s.

Literatura

S. V. Ivanov , Úvod do teorie geometrické míry přednáška 2008.
Besicovitch, AS (1945), Obecná forma krycího principu a relativní diferenciace aditivních funkcí, I , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society vol . 41 (02): 103–110 , DOI 10.1017/S0305004100022453 .
- Obecná forma krycího principu a relativní diferenciace aditivních funkcí, II, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society vol. 42: 205–235, 1946 .
DiBenedetto, E (2002), Skutečná analýza , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5 .