Gaussovo lemma o geodetice

Gaussovo geodetické lemma říká, že jakákoli dostatečně malá koule vycentrovaná v bodě na Riemannově varietě je kolmá na každou geodetiku skrz bod.

Lema se používá při dokazování, že geodetiky jsou lokálně nejkratší křivky , a má zásadní význam při studiu geodetické konvexity a normálových souřadnic .

Formulace

Nechť označí prostor tečny v bodě Riemannovy variety a je exponenciální mapa . Všimněte si , že pro jakýkoli vektor lze prostor tečny k prostoru tečny identifikovat se samotným prostorem tečny . $T_{p}$ $p$ $(M,g)$ $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ $x\in T_{p}$ $T_{x}T_{p}$ $T_{p}$

Pro jakékoli $x,v\in T_{p}$

g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,

kde označuje diferenciál exponenciálního zobrazení. ${\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x))$

Odkazy

Odvození Gaussova lemmatu pomocí hamiltonovské mechaniky na YouTube