Gaussovo lemma o geodetice

Gaussovo geodetické lemma říká, že jakákoli dostatečně malá koule vycentrovaná v bodě na Riemannově varietě je kolmá na každou geodetiku skrz bod.

Lema se používá při dokazování, že geodetiky jsou lokálně nejkratší křivky , a má zásadní význam při studiu geodetické konvexity a normálových souřadnic .

Formulace

Nechť označí prostor tečny v bodě Riemannovy variety a je exponenciální mapa . Všimněte si , že pro jakýkoli vektor lze prostor tečny k prostoru tečny identifikovat se samotným prostorem tečny .

Pro jakékoli

kde označuje diferenciál exponenciálního zobrazení.

Odkazy