Schwartz Lemma

Schwartzovo lemma je klasickým výsledkem komplexní analýzy harmonických zobrazení z kruhu do sebe.

Formulace

Dovolit být jednotka kružnice na komplexní rovině . Dále nechť je funkce analytická a splňuje dvě podmínky: $\Delta =\{z:|z|<1\}$ $\mathbb {C}$ $F$ $\Delta$

$f(0)=0$ ;
$f(\Delta )\subset {\overline {\Delta ))$ , nebo ekvivalentně . $|f(z)|\leqslant 1$

Pak:

$|f(z)|\leqslant |z|$ v ; $\Delta$
$|f'(0)|\leqslant 1$ .

Navíc se obě tyto nerovnosti promění v rovnosti právě tehdy, když funkce má tvar , tedy redukuje se na rotaci. Myšlenka důkazu je, že funkce bude analytická a bude na ni aplikován maximální princip pro harmonické funkce. $f(z)=e^{{i\varphi }}z$ $f(z)/z$ $|z|<1$

Variace a zobecnění

Schwartzovo lemma, aplikované na původní kruh lineárně-zlomkového zobrazení , automaticky vede k obecnějšímu tvrzení – Schwartz-Peakově větě .

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . - S. 192. - 577 s.
Titchmarsh E. Teorie funkcí: Per. z angličtiny. - 2. vyd., přepracováno. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné: Příručka pro vysokoškolské vzdělávání. - M. - L .: Státní nakladatelství, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.