Makromechanické modelování kamenných zdí

Makromechanické modelování kamenných zdí  je metoda modelování zděných zdí, při které se heterogenní ( heterogenní systém ) zdivo skládající se ze zdících prvků ( cihly , přírodní nebo umělé kameny, betonové bloky atd.) a malty nahradí homogenním ( homogenní ) deska . Taková deska má různé charakteristiky pevnosti a tuhosti ve směrech kolmých a rovnoběžných s ložem zdiva , jedná se tedy o ortotropní těleso. Proces nahrazování heterogenní struktury homogenní se nazývá homogenizace zdiva .

Homogenizace zdiva

Homogenizace zdiva se provádí dvěma způsoby, které lze pro stručnost nazvat aproximací a makro-mikro homogenizací.

Přibližná homogenizace využívá údaje o tuhosti a pevnosti zdiva při relativně jednoduchých typech napjatosti zdiva, jako je jednoosý tlak a tah normálně a rovnoběžně s ložem zdiva, dvouosé rovnoměrné stlačení, čistý řez, které jsou získány na základě přímých zkoušek zdiva. prototypy a/nebo jsou odebírány podle pokynů norem a příruček pro navrhování kamenných konstrukcí. Pevnostní podmínky pro ostatní případy napjatosti jsou uvedeny přibližně a jsou vyjádřeny pevnostními údaji pro jednoduché typy napjatosti.

Pevnostní údaje pro jednoduché typy napjatosti jsou referenčními body pro konstrukci trojrozměrného povrchu, který určuje podmínky pro lokální porušení zdiva. Při zvažování makroskopických podmínek destrukce se tento povrch obvykle nazývá destrukční povrch . Všimněte si, že v lomové mechanice se termín "povrch lomu" používá v jiném smyslu. Tento termín se vztahuje k povrchu, na kterém na mikroskopické úrovni dochází k přemístění praskliny v důsledku normální praskliny nebo smykové trhliny ( dislokace ), ke které dochází kolem místa lomu pevného tělesa.

Geometrie lomové plochy mezi referenčními body je dána hypoteticky. Zpravidla se předpokládá, že lomová plocha se skládá z více částí, které mohou mít různé geometrické tvary. Tvar částí lomové plochy se volí pomocí zjednodušených lomových kritérií nebo specifikuje pomocí matematických aproximačních metod.

Makro-mikro homogenizace je založena na mikromechanickém modelování opakujícího se identického objemu zdiva, nazývaného hlavní buňka . Hlavní buňka se vypočítá jako soubor plochých nebo prostorových konečných prvků (FE), na které se pro výpočet rozdělí zdicí prvky a maltové spáry hlavní buňky. Pevnost FE se kontroluje pomocí známých kritérií pro destrukci izotropních materiálů, která mohou být u zdících prvků a maltových spojů brána odlišná.

Makro-mikro homogenizace nevyžaduje složité testování vzorků zdiva potřebné pro přibližnou homogenizaci. Potřebné vstupní údaje lze obvykle určit na základě standardních zkoušek na zdicích prvcích a maltě. Všimněte si, že kromě pevnostních charakteristik jsou vyžadovány údaje o deformačních vlastnostech zdících materiálů. Mikromechanické modelování hlavní buňky umožňuje odhalit vlastnosti rozložení napětí v maltových spárách a zdících prvcích.

Je třeba mít na paměti, že makro-mikrohomogenizace může v některých případech poskytnout méně přesné výsledky než aproximační homogenizace, protože nezohledňuje vliv mnoha náhodných faktorů (heterogenita materiálů zdících prvků a malty, variabilita tloušťky maltových spár a jiných nevyhnutelných chyb při stavebních pracích). ), které výrazně ovlivňují pevnost zdiva. Mezitím aproximační homogenizace využívající přímých experimentálních údajů o pevnosti zdiva bere v úvahu různé vlastnosti provozu kamenných konstrukcí pod zatížením (včetně nevyhnutelných výrobních vad), i když nám neumožňuje identifikovat vliv každého z nich. odděleně.

Omezení pro použití makro-mikrohomogenizace je pravidelnost zdění a jeho provedení z plných (bez dutin) zdicích prvků.

Přibližná homogenizace

Povrch ničení

Poruchovou plochu zdiva při působení vnějších zatížení v rovině stěny lze zadat ve dvou provedeních: z hlediska tečných (τ) a normálových (σ n , σ p ) napětí působících normálně a rovnoběžně s ložem zdiva, popř. z hlediska hlavních napětí (σ 1 , σ 2 ) a úhlu sklonu (θ) maximálního hlavního napětí k loži zdiva. Tvar lomové plochy je předvolen. První z těchto možností je nejvhodnější pro stanovení kritérií selhání a druhá možnost je pro popis výsledků testu. Přechod z jedné možnosti na druhou se provádí pomocí vzorců odolnosti materiálů , které určují vztah mezi hlavním napětím a normálním a smykovým napětím působícím na libovolnou nakloněnou oblast izotropního tělesa.

Lomová plocha, udávaná pomocí napětí (τ, σ n , σ p ), je konstruována v ortogonálním souřadnicovém systému. Normálová napětí σ n , σ p jsou vynesena podél os x a y a smyková napětí τ podél svislé osy z . Tahová normálová napětí, jak je v teorii pružnosti zvykem, jsou považována za kladná. Lomová plocha je vzhledem k rovině z = 0 symetrická. Proto se obvykle uvažuje pouze horní polovina lomové plochy. Řez lomové plochy rovinou symetrie se nazývá báze lomové plochy .

Zpravidla se připouští, že lomová plocha se skládá z více částí, které mohou mít různé geometrické tvary. Tvar částí lomové plochy je vybrán z podmínky vhodnosti aproximace dostupných experimentálních dat, které jsou referenčními body pro konstrukci povrchu. Kromě toho lze vzít v úvahu existující empirické závislosti, které stanoví kritéria porušení pro konkrétní případy namáhaného stavu zdiva.

Referenční body pro konstrukci lomové plochy

Pro konstrukci lomové plochy se používá minimálně šest referenčních bodů, které charakterizují pevnost zdiva při jednoosém tlaku normálně f' cn a rovnoběžné f' cp k loži, jednoosé napětí normálně k loži f tn , jednoosé napětí rovnoběžné do lože s porušením pouze podél švů f tpj a při destrukci současně podél svislých spár a zdících prvků f tpb , stejně jako smyková únosnost rozhraní zdících prvků a maltových spár f v0 .

Protože odolnost zdiva proti dvouosému tlaku je větší než odolnost proti jednoosému tlaku, je pro zohlednění celého rozsahu změn normálových napětí ve švech zdiva nutné použít jako referenční body také hodnota odporu zdiva při stejném dvouosém stlačení ( f" c ) a hodnoty maximálních odporů pro nestejné stlačení ( f " cn a f " cp ). Odpor f" cn odpovídá případu když normálová napětí ve vodorovných švech jsou větší než napětí ve švech svislých a odpor f " cp odpovídá případu  , kdy jsou naopak normálová napětí ve svislých švech větší než napětí ve švech horizontálních .

Kromě uvedených pevnostních charakteristik je pro konstrukci lomové plochy nutné použít hodnotu úhlu vnitřního tření φ mezi zdícími prvky a maltovými spárami zdiva.

Zjednodušená kritéria selhání

Kritéria porušení popsaná v této části se používají ke zjednodušení výpočtu stěn pro zatížení působící v rovině stěny a také ke konstrukci povrchu porušení, jehož některé části odpovídají různým formám porušení. Některá z těchto kritérií tvoří základ návrhových a výpočtových norem pro kamenné konstrukce.

Nejjednodušší vztah mezi mezními smykovými napětími τ a normálovými napětími σ n určený vzorcem:

(jeden)

kde μ = tg φ , c  je tangenciální přilnutí zdicího prvku k maltové spáře.

Tato závislost odpovídá Coulombovu zákonu tření , který v roce 1773 stanovil, že odpor sypkých zemin vůči smyku je odpor vnitřního tření úměrný normálnímu tlaku. Tento zákon byl poté rozšířen na soudržné zeminy, u kterých se smyková odolnost při nepříliš vysokých tlacích rovná součtu sil vnitřního tření a soudržnosti (koheze). [jeden]

Podle mezní závislosti (1) se smyková odolnost neomezeně zvyšuje s rostoucím tlakem. Mezitím pro jakékoli pevné těleso existuje maximální tlakové zatížení, při kterém je smykový odpor nulový. Makromechanický model, který bere v úvahu, že smykový odpor po dosažení určité úrovně tlakového zatížení postupně klesá, se nazývá „cap-model“. Takový model byl poprvé navržen ve vztahu k problémům mechaniky zemin Druckerem. [2] Druckerův „cap model“ byl později úspěšně použit pro makromechanické modelování zdiva. [3] [4]

Coulombův zákon v souřadnicích τ-σ graficky popisuje přímku nakloněnou k ose σ pod úhlem vnitřního tření φ a protínající osu τ v bodě s pořadnicí c . Coulombův zákon, určený vzorcem (1), lze vyjádřit pomocí maximálních σ 1 a minimálních σ 3 hlavních napětí. K tomu je třeba na tomto grafu limitní závislosti τ-σ sestrojit Mohrovu kružnici , pro kterou je šikmá přímka tečnou. Z geometrických úvah získáme místo rovnice (1) následující rovnici, nazývanou Mohr-Coulombovo pevnostní kritérium:

(2)

Při aplikaci na zdivo byla podmínka (1) potvrzena četnými smykovými zkouškami vzorků s tlakem na normální maltové spáry. Při zkoušení vzorků sestávajících ze dvou (duplexní vzorky) nebo tří (triplexní vzorky) zdících prvků tlakové zatížení zpravidla nepřesáhlo polovinu mezní pevnosti v tlaku vzorků. Zkoušky jednoosého stlačení úlomků zdiva (panelů), u kterých jsou maltové spáry umístěny pod úhlem ke směru tlakového zatížení, ukázaly, že lineární závislost je zachována pouze do určité meze. Když se tlakové zatížení blíží mezní pevnosti v tlaku, blíží se mezní pevnost ve smyku nule [5] .

Mezní závislost, která zohledňuje snížení mezního smykového odporu zdiva při působení velkého tlakového zatížení, byla navržena v článku W. Manna a H. Műllera (1973) [6] pro výpočet pevnosti kamenné membránové stěny. Při odvození pevnostních podmínek autoři předpokládali, že na koncích zdících prvků nevznikají smyková napětí a vyvážení zdícího prvku je zajištěno stupňovitou změnou normálových tlakových napětí v ložných spárách nad a pod prvkem. . Nebylo zohledněno plastické přerozdělení napětí v ložných spárách zdiva při kombinovaném působení normálového a smykového napětí v nich. Přijaté předpoklady podhodnocují skutečnou odolnost zdiva.

Mann-Müller rozlišuje tři formy selhání, které splňují následující kritéria:

(3)

kde h m  je výška zdicího prvku, b m  je hloubka obkladu zdiva;

(čtyři)
(čtyři)

Kritéria (3)-(5) tvoří základ německých norem pro navrhování a výpočty zděných konstrukcí. DIN 1053. V mírně upravené podobě je podmínka (2) zahrnuta do celoevropských norem pro zděné konstrukce Eurokód 6.

Na základě zkoušek vzorků pro stlačení pod úhlem k loži zdiva navrhl Page (1978) bilineární vztah mezi mezními smykovými napětími a tlakem zdiva kolmo k loži) [7] .

Pro případ, kdy je pevnost v tahu zdiva v normálním loži nulová, HR Ganz (1985) navrhl pět kritérií pro porušení zdiva [8] :

(6)
(7)
(osm)
(9)
(deset)

Následně byla tato kritéria částečně upřesněna v [9] Kritéria selhání navržená HR Ganz jsou použita ve švýcarském kódu návrhu zdiva SIA 266.

U. Andreaus (1996) navrhl použít tři kritéria síly [10]

Uvažovaná kritéria porušení se v zásadě shodují pro případ řezu zdiva podél vodorovné spáry, ale výrazně se liší pro jiné formy porušení.

V pracích [11] , [12] , [13] se používají dílčí lineární mezní závislosti mezi normálovým a smykovým napětím .

Varianty kritérií selhání jsou také navrženy v Pietruszczak a Nui (1992), Mojsilovic a Marti (1997), Syrmakezis a Asteris (2001), Ushaksaraei a Pietruszczak (2002), Massart et al (2007), Calderini a Lagomarsino (2008), Pela a kol. (2011) a další.

Základna destrukční plochy

Obrys paty lomové plochy určuje vztah mezi mezními hodnotami normálových napětí σ n , σ p pro případ rovinného napěťového stavu, kdy vnější zatížení směřuje kolmo a rovnoběžně s ložem zdiva. V závislosti na znaménku a poměru vnějších zatížení se v tomto případě vyskytují následující formy porušení zdiva:

Uvedeným formám destrukce odpovídají následující mezní odpory: f' cn , f' cp , f tn , f tpj , f tpb , f " c . Tyto odpory určují referenční body pro konstrukci obrysu paty lomové plochy. Kromě těchto odporů je vhodné použít dodatečně referenční body odpovídající odporům f" cn a f" cp (označení odporů je uvedeno v části "referenční body"). Pomocí osmi referenčních bodů můžete vytvořte základní obrys ve tvaru konvexního osmiúhelníku (osmiúhelníku) [14] [15] Pro lepší přizpůsobení Na základě experimentálních dat je rozumné předpokládat, že vrcholy ortagonu se nacházejí v místech, kde se mění formy porušení zdiva ve stavu rovinného napětí.

Vertikální řezy lomové plochy

Svislý řez lomovou plochou procházející svislou osou z určuje závislost mezních smykových napětí τ při pevném poměru normálových napětí γ=σ p /σ n . Nejčastěji se pro konstrukci lomové plochy používá závislost pro případ, kdy γ=0 (při σ p =0). Typické varianty této závislosti jsou znázorněny na obrázku vpravo, kde na vodorovné ose jsou vynesena normálová napětí σ n a na ose pořadnice mezní smyková napětí τ.

Lomová plocha má tři speciální vertikální sekce, nazývané hlavní sekce [15] . Všechny hlavní sekce procházejí vertikální osou z . První hlavní řez je umístěn podél osy x , druhý je podél osy y a třetí je podél osy úhlu mezi osami x a y v prvním a třetím kvadrantu souřadnicové roviny.

Lomová plocha pro hlavní úseky má v obecném případě čtyři úseky, které odpovídají různým formám poškození zdiva v závislosti na znaménku a velikosti normálových napětí. Tyto úseky jsou číslovány postupně, počínaje úsekem, kde jsou normálová napětí tahová. Ve zvláštních případech se některé z uvedených forem ničení nemusí objevit. Pak se počet parcel odpovídajícím způsobem snižuje. Po částech lineární závislost mezi mezními tangenciálními a normálovými napětími je určena vzorcem společným pro všechny řezy, ve kterém první index j určuje číslo hlavního řezu a druhý index i určuje číslo  řezu:

(jedenáct)

.

Vzorec (11) je přirozené zobecnění vzorce (1). Proto se často nazývá generalizovaný Mohr-Coulombův stav.

Příklady lomových ploch

Typické varianty poruchových ploch zdiva v rovinném napjatém stavu jsou znázorněny na obrázku vpravo. Pro usnadnění srovnání jsou plochy konstruovány pro stejné hodnoty mezních odporů zdiva proti jednoosému tlaku a tahu normálně a rovnoběžně s ložem zdiva, jakož i mezních odporů proti dvouosému tlaku (stejné a odlišný). Poměry mezi mezními napětími jsou převzaty z experimentů AW Page (1981-1983) [16] [17] . Pro názornost obrazu jsou mezní tahová napětí zvýšena, ale poměr mezi nimi je zachován. Kontrolní body používané ke konstrukci lomových ploch jsou označeny malými tmavými kroužky. Počty řezů lomových ploch na obrázku určují jejich tvar: 1 - rovina; 2 - válec; 3 - kruhový kužel; 4 - eliptický kužel; 5 - komolý jehlan; 6 - ortotropní kluzná plocha Rankina; 7, poddajná plocha kopce; 8 - uzavřená klenba.

Plocha porušení navržená HR Ganzem (1985) se skládá z pěti úseků, z nichž každý odpovídá jednomu z forem porušení zdiva [18] . Nevýhodou tohoto povrchu je, že nezohledňuje výrazné zvýšení pevnosti zdiva při dvouosém stlačení oproti jednoosému stlačení.

M. Dhanasekar, A. W. Page a P. W. Kleeman (1985) přijali lomovou plochu jako tři protínající se kuželové plochy [19] . Průsečíky kuželů jsou ve tvaru elips. Pro případ, kdy jsou smyková napětí rovna nule, je hranice oblasti odporu popsána konvexním šestiúhelníkem, který překrývá oblast dvouosého stlačení. Rozdělení destrukční plochy na díly není zcela v souladu se změnou forem destrukce zdiva, což je jeho nevýhoda.

Lomová plocha použitá G. Maierem, E. Nappim a A Papou (1991) má podobu komolého jehlanu, který nemá společný vrchol šikmých hran [14] . Pyramida se může skládat z jedné nebo více pater, jejichž základny mají sedmiúhelníkový tvar, ale v obecném případě si nejsou podobné. Šikmé okraje pyramidy s více než dvěma úrovněmi tvoří po částech lineární prostorovou křivku. Navržená lomová plocha je konvexní mnohostěn a lze ji považovat za po částech lineární aproximaci experimentálních dat, umožňuje je tedy popsat s libovolnou přesností. Komplikovaný tvar povrchu však vyžaduje použití velkého množství kontrolních bodů pro jeho stavbu.

PB Lourenço (1995), PBLourenço a JGRots (1997) přijali povrch lomu jako dva protínající se povrchy [20] [21] . Jedním z nich, který odpovídá porušení při hlavních napětích různých znaků, je ortotropní typ kluzné plochy navržený Rankinem (Ortotropní Rankinova kluzná plocha). Druhou omezující plochou je kluzná plocha Hillova typu. Tvar Rankinovy ​​kluzné plochy nesouhlasí s experimentálními daty pro případ, kdy normálová napětí působící kolmo a rovnoběžně s ložem zdiva mají různá znaménka.

CA Syrmakesis a PG Asteris (2001) na rozdíl od jiných autorů popsali lomovou plochu s jedinou funkcí, kubickým polynomem, jehož koeficienty byly určeny metodou nejmenších čtverců [22] . Taková technika umožnila poměrně dobře popsat dostupná experimentální data, ale nelze ji použít k výpočtu pevnosti kamenných konstrukcí s jinými pevnostními charakteristikami bez speciálních, časově velmi náročných zkoušek.

R. Ushaksaraei a S. Pietruszczak (2002) použili ke konstrukci lomové plochy svou navrhovanou metodu aproximace kritické roviny [23] . M. Kawa, S. Pietruszczak a B. Shieh-Beygi (2008) vyvinuli tuto metodu ke zpřesnění kritérií porušení pro zdivo pod rovinným napětím [24] .

L. Berto, R. Scotta R. Vitaliani (2002) přijal destrukční plochu v podobě valbové (valbové střechy) střechy s obdélníkovou základnou [25] . Plochy, stejně jako povrch HR Ganz(1985) [8] , neberou v úvahu nárůst pevnosti zdiva při dvouosém tlaku. Rozdělení povrchu na části navíc není v souladu se změnou forem destrukce zdiva.

VI Lishak, V.I. Yagust a DZ Yankelevsky (2012) vzali povrch lomu jako pět sekcí s různými tvary [15] . Rozdělení plochy na řezy je v souladu se změnou forem destrukce zdiva. Části lomové plochy jsou ve tvaru rovin, kuželových ploch a jedna část je ve tvaru bikonvexní plochy. Geometrie lomové plochy je určena pomocí jejích tří řezů svislými rovinami. Tyto sekce se nazývají hlavní. Dvě hlavní části jsou umístěny podél souřadnicových os a třetí - podél osy úhlu mezi nimi. Průsečíky lomové plochy rovinami hlavních řezů mají tvar čepicového modelu a skládají se ze dvou lineárních řezů a zakřiveného řezu - části oblouku elipsy. Díky diferencovanému zohlednění různých forem porušení zdiva bylo ve srovnání s jinými dříve navrženými kritérii porušení dosaženo nejlepší shody mezi experimentálními a vypočtenými daty.

Makro-mikrohomogenizace

Makromikrohomogenizace se používá u zdiva, které má pravidelnou, opakující se strukturu. Ve zdivu vyniká minimálně opakující se prvek, zvaný hlavní buňka. Hlavní buňku vypočítá MKP pomocí mikromechanické simulace. Hlavní myšlenkou hlavního postupu homogenizace buněk je, že tenzory napětí Ε a deformace Σ jsou určeny pro makromechanický model podle vzorců:

kde A , Y  jsou plocha a objem elementární buňky; ε a σ  jsou lokální napětí, respektive deformace elementární buňky,  je vektor posunutí.

Konečné prvky, na které je hlavní buňka pro výpočet rozdělena, jsou považovány za izotropní tělesa, jejichž pevnost je určena pomocí určitých pevnostních kritérií pro zdicí prvky a maltové spoje. Častěji než jiné se používají různé „klasické“ teorie pevnosti a jejich kombinace a také Drucker-Pragerovo pevnostní kritérium .

Makromikrohomogenizace byla provedena zejména v [26] . [27]

Vlastnosti výpočtu ortotropní desky

V důsledku orovnávání zdicích prvků a různé rozteče maltových spár po délce a výšce stěny má zdivo různou pevnost a tuhost normálně a rovnoběžně s ložem. Desku simulující zdivo stěny je proto nutné považovat za ortotropní . Ortotropní deska, která má různé vlastnosti ve třech vzájemně kolmých směrech, z nichž jeden je rovnoběžný s rovinou desky, je zvláštním případem anizotropní desky. [28]

Pro ortotropní desku je vztah mezi napětími a deformacemi ve formě matrice následující:

kde - Ex a Ey jsou moduly deformace desky podél os x a y , v tomto pořadí; ν xy a ν yx  jsou Poissonovy poměry; ε x a ε y  jsou relativní prodloužení (zkrácení) podél os x a y ; γ xy  je relativní posun. Osy x a y jsou rovnoběžné a kolmé na lože zdiva.

Výpočet ortotropní desky se obvykle provádí metodou konečných prvků , při které je vypočtená struktura aproximována plochými nebo prostorovými konečnými prvky (FE).

Viz také


Poznámky

  1. ↑ Tsytovič N. A. Mechanika půdy. 1963, M., Gosstroyizdat: 636 s.
  2. ↑ Drucker DC, Gibson RE a Henkel DJ Mechanika půdy a teorie plasticity zpevnění. Proceeding ASCE, 1957; 122:338-46.
  3. ↑ Lourenço PB Analýza zděných konstrukcí s prvky rozhraní. Teorie a aplikace, 1995. Delft University of Technology, Delft University Press, Nizozemsko.
  4. ↑ Lourenço PB a Rots JG Multisurface model rozhraní pro analýzu zděných konstrukcí. ASCE J Engng Mech, 1997; 123(7): 660-68.
  5. ↑ Hamid A. A., Drysdale RG Navrhovaná kritéria porušení pro betonové blokové zdivo při dvouosém namáhání. J Struct. Div. Proč. ASCE, 1981; 107 (ST8): str. 1675-87.
  6. ↑ Mann W., Műller H. Bruchkriterien fűr querkraftbeanspruchtes Mauerwerk und ihre Anwendung auf gemauerte Windschscheiben.Die Bautechnik, 1973; 50: str. 421-425.
  7. ↑ A.W. Model konečných prvků pro zdivo. J Struct Division ASCE, 1978; 104(8): 1267-85
  8. ↑ 12 Ganz HR Mauerwerkscheiben unter Normalkraft und Schub. ETH Zürich, 1985; Institut für Baustatik und Konstruktion. Birkhauser Verlag Basilej
  9. ↑ Lu S., Yeuer R. a Flesch R. Materiálový model pro nevyztužené na základě teorie plasticity. 10. kanadské zednické sympozium, Banff, Alberta, 2005:1-10.
  10. ↑ Andreaus U. Kritéria selhání pro zděné panely při zatížení v rovině, J. Struct. Div., Proc. ASCE, 1996; 122(1): str. 37-46:
  11. ↑ Sutcliffe DJ, Yu HS, Page A.W. Analýza dolní meze nevyztužených zděných smykových stěn. Počítače a struktury, 2001; 79: str. 1295-312.
  12. ↑ Chaimoon K., Attard MM Modelování nevyztužených zděných stěn pod smykem a tlakem. engng. Strukturální, 2007; 29: str. 2056-2068.
  13. ↑ Bacigalupo A., Cavicchi A. a Gambarotta L. Zjednodušené hodnocení vlivu vazby vazby na mezní pevnost zdiva, 2011; Pokročilé materiály peseach, sv. 368-373. Transtech. Publikace: s.3495-3508.
  14. ↑ 1 2 Maier G., Papa E., Nappi A. O poškození a porušení zdiva jednotky. In: Experimentální a numerické metody v inženýrství zemětřesení, 1991; Balkema, Brusel: str. 223-45.
  15. ↑ 1 2 3 Lishak V. I, Yagust VI, Yankelevsky DZ 2-D ortotropní kritéria porušení pro zdivo. Engng Structures, 2012, 36: s.360-371.
  16. ↑ Strana A. W. Biaxiální pevnost cihelného zdiva v tlaku. Proč. Ins. Civ. Engrs. 1981, 71(2): str. 893-906.
  17. ↑ Strana A.W. Pevnost cihelného zdiva při dvouosém tlaku a tahu. Inter J. Masonry Constr., 1983, 3(1): str. 26-31.
  18. ↑ Ganz H. R. Mauerwerkscheiben unter Normalkraft und Schub. ETH Zürich, 1985; Institut für Baustatik und Konstruktion. Birkhauser Verlag Basilej.
  19. ↑ Dhanasekar M, Strana AW, Kleeman PW Porucha cihelného zdiva při dvouosém namáhání. Proč. Instn. Civ. Engrs., 1985; 79: str. 295-313.
  20. ↑ Lourenço PB Model ortotropního kontinua pro analýzu zděných konstrukcí, 1995. Delft University of Technology, Delft University Press, Nizozemí: 55 s.
  21. ↑ Lourenço PB, Rots JG Multisurface model rozhraní pro analýzu zděných konstrukcí. ASCE J Engng Mech 1997; 123(7): str. 660-68
  22. ↑ Syrmakezis C. A, Asteris PG Kritérium porušení zdiva ve stavu dvouosého napětí. J. Materiál Civ. Eng., 2001; 13(1): str. 58-64.
  23. ↑ Ushaksaraei R, Pietruszczak S. Kritérium selhání pro konstrukční zdivo založené na přístupu kritické roviny. J. Ing. mechanika. 2002; 128(7): str. 769-79.
  24. ↑ Kawa M., Pietruszczak S., Shieh-Beygi B. Mezní stavy pro cihelné zdivo založené na homogenizačním přístupu. Int. J. Solids and Str., 2008; 45(3-4):.p.998-1016.
  25. ↑ Berto L, Scotta R, Vitaliani R. Model ortotropního poškození pro zděné konstrukce. Inter J Numer Meth Engng, 2002; 55: str. 127-57.
  26. ↑ Cuketa A. a Lourenço PB Mikromechanický model pro homogenizaci zdiva. Pohřbít. J. Solid. and Structures, 2002, 39: str. 3233-3255.
  27. ↑ Milani G., Lourenço PB, Tralli A. Homogenizovaná limitní analýza zděných stěn, Počítače a konstrukce, 2006; 84: Část I: Poruchové povrchy: str. 166-80, Část II: Konstrukční příklady: str. 181-95.
  28. ↑ S. G. Lekhnitsky. anizotropní desky. M.- L. Gostekhizdat, 1947: 416 s.

Literatura