Diracovy matice

Diracovy matice (také známé jako gama matice ) jsou souborem matic, které splňují speciální antikomutační vztahy. Často se používá v relativistické kvantové mechanice.

Definice

Diracovy matice jsou libovolné sady matic, které splňují rovnici

\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^ {\mu }=2\eta ^{\mu \nu }já,

kde je Minkowského metrika podpisu I je matice identity, složené závorky označují antikomutátor . ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu ))$ $\left(+---\right),$

Jedním z možných způsobů výběru Diracových matic ve 4D prostoru je následující:

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\začátek{ bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\0&i&0&0\ \end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$

(Diracova reprezentace; Weyl a Majorana reprezentace jsou také používány ).

Pátá gama matice, $\gamma ^{5}$

Je užitečné definovat součin čtyř gama matic takto:

\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gama ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\ \0&1&0&0\end{bmatrix}}

(v zastoupení Dirac).

$\gamma ^{5}$ lze napsat v alternativní podobě:

\gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },

kde je tenzor Levi-Civita . ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta ))$

Tato matice je užitečná při diskusi o chiralitě v kvantové mechanice. Diracovo spinorové pole lze tedy promítnout na jeho levou nebo pravou složku:

\psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5 }}{2}}\psi

Některé vlastnosti : $\gamma ^{5}$

Hermiticita :

(\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.

Vlastní hodnoty jsou ±1, protože

(\gamma ^{5})^{2}=I.

Anticommutuje se čtyřmi dalšími gama maticemi:

\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^ {5}=0.

Bloková struktura

Diracovy matice lze kompaktně zapsat jako blokové matice pomocí Pauliho matic σ 1 , σ 2 , σ 3 , doplněných identitní maticí I . Z pohledu Diraca:

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1 }\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0 \end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}.

Ve Weilově reprezentaci zůstávají stejné, ale liší se, proto se také změnily: ${\displaystyle \gamma ^{k))$ $\gamma ^{0}$ $\gamma ^{5}$

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{k}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\ \-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}-I&0\\0&I\end{bmatrix)).

Weylova reprezentace má tu výhodu, že chirální projekce nabývají jednoduché formy:

\psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix}}\ psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}0&0\\0&I\end{bmatrix}} \psi.

Existuje také reprezentace Majorany , ve které jsou všechny gama matice imaginární a spinory jsou skutečné:

\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{1}={\ begin{bmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{bmatrix}}

\gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{bmatrix)),\quad \gamma ^{3}={ \begin{bmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}\sigma ^ {2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{bmatrix}}.

V moderní vědě je hlavní vlastností definující vlastnost gama matic, a nikoli jejich číselná reprezentace.

Totožnosti

Ne.	Identita
jeden	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$
2	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu ))$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I$
čtyři	${\displaystyle \displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma } \gamma ^{\rho } \gamma ^{\nu ))$
5	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\lambda }+\eta ^{\nu \lambda }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \lambda }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \lambda }\gamma _{\sigma }\ gama ^{5}$

Ne.	Identita
0	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu })=0$
jeden	Jakýkoli součin lichého čísla má nulovou stopu. ${\displaystyle \gamma _{\mu ))$
2	${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu ))$
3	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu } \eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })$
čtyři	$\operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0$
5	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=4i\epsilon ^{ \mu \nu \rho \sigma }$

Identity Firtz platí také pro matice Dirac .

Definice gama matic je zobecněna na prostory jiných dimenzí, kde se jejich počet může lišit.

Viz také

Literatura

Zee E. Kvantová teorie pole v kostce. - Iževsk: RHD, 2009. - 632 s.
Peskin M., Schroeder D. Úvod do kvantové teorie pole. - Iževsk: RHD, 2002. - 784 s.
W. Pauli. Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac (francouzsky) // Ann. Inst. Henri Poincare :časopis. - 1936. - Sv. 6 . — S. 109 .