Míra iracionality

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. června 2020; kontroly vyžadují 7 úprav .

Mírou iracionality reálného čísla je reálné číslo , které ukazuje, jak dobře se dá aproximovat racionálními čísly . $\alpha$ $\mu$ $\alpha$

Definice

Nechť je reálné číslo a nechť je množina všech čísel taková, že nerovnost má pouze konečný počet řešení v celých číslech a : $\alpha$ $M(\alpha)$ $\mu$ $0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ $p$ $q>0$

M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\; q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Šipka doprava \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\ mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.

Pak je míra iracionality čísla definována jako infimum : $\mu (\alpha )$ $\alpha$ $M(\alpha)$

\mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).

Pokud , pak předpokládejme . $M(\alpha )=\varnonic$ $\mu (\alpha )=+\infty$

Jinými slovy, je nejmenší číslo takové, že pro jakékoli pro všechny racionální aproximace s dostatečně velkým jmenovatelem platí, že . $\mu$ $\varepsilon >0$ ${\frac {p}{q))$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{{\mu +\varepsilon }}}}$

Možné hodnoty míry iracionality

$\mu (\alpha )=1$ právě tehdy, když je racionální číslo. $\alpha$
Jestliže je algebraické iracionální číslo , pak . $\alpha$ $\mu (\alpha )=2$
Jestliže je transcendentální číslo , pak . Konkrétně, pokud , pak se toto číslo nazývá Liouvilleovo číslo . $\alpha$ $\mu (\alpha )\geqslant 2$ $\mu (\alpha )=+\infty$ $\alpha$

Spojení s pokračujícími zlomky

Jestliže je rozšíření čísla na pokračující zlomek , a je tý vhodný pokračující zlomek, pak $\alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]$ $\alpha$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ $n$

\mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{{n\to +\infty }}{\frac {\ln q_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}=2 +\limsup \limits _{{n\to +\infty }}{\frac {\ln a_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}.

Pomocí tohoto vzorce je obzvláště snadné najít míru iracionality pro kvadratické iracionality , protože jejich expanze do spojitých zlomků jsou periodické. Například pro zlatý řez a poté . $\varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]$ $\mu (\varphi )=2$

Thue-Siegel-Rothova věta

Podle Dirichletova lemmatu , je-li iracionální, pak existuje nekonečný počet p a q takových , že , tedy . V 1844, Liouville dokázal teorém, že pro nějaké algebraické číslo míry , jeden může vybrat konstantu takový to . V roce 1908 Thue toto hodnocení posílil. Další výsledky v tomto směru získali Siegel , Dyson , Gelfond , Schneider . Nejpřesnější odhad dokázal Roth v roce 1955, výsledná věta se nazývá Thue-Siegel-Rothova věta . Tvrdí, že pokud je algebraické iracionální číslo, pak . Za tento důkaz obdržel Roth Fieldsovu medaili . $\alpha$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$ $\mu (\alpha )\geqslant 2$ $\alpha$ $n$ $c=c(\alpha)$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}$ $\alpha$ $\mu (\alpha )=2$

Míra iracionality některých transcendentálních čísel

Pro téměř všechna transcendentální čísla je míra iracionality rovna 2. Je dobře známo, že , a také Liouvilleova čísla jsou známá , která z definice mají nekonečnou míru iracionality. U mnoha jiných transcendentálních konstant je však míra iracionality neznámá, v nejlepším případě je znám nějaký horní odhad. Například: $\mu \left(e\right)=2$

$\mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137$ [jeden]
$\mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891$
$\mu \left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201$
$\mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}09541179$ [2]
$\mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3))}\right)\leqslant 4{,}230464$ [3]
$\mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391$

Viz také

Poznámky

↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. Míra iracionality pí je nejvýše 7,103205334137 . archive.org (2019). Archivováno 17. října 2020. (neurčitý)
↑ Míra iracionality – od Wolframa MathWorld . Získáno 28. února 2021. Archivováno z originálu dne 11. ledna 2021. (neurčitý)
↑ V. A. Androsenko, Míra iracionality čísla π/√3, Izv. BĚŽEL. Ser. matematika. , 2015, ročník 79, číslo 1, 3–20

Odkazy

Weisstein , Eric W. Míra iracionality ve Wolfram MathWorld .