Mírou iracionality reálného čísla je reálné číslo , které ukazuje, jak dobře se dá aproximovat racionálními čísly .
Nechť je reálné číslo a nechť je množina všech čísel taková, že nerovnost má pouze konečný počet řešení v celých číslech a :
Pak je míra iracionality čísla definována jako infimum :
Pokud , pak předpokládejme .
Jinými slovy, je nejmenší číslo takové, že pro jakékoli pro všechny racionální aproximace s dostatečně velkým jmenovatelem platí, že .
Jestliže je rozšíření čísla na pokračující zlomek , a je tý vhodný pokračující zlomek, pak
Pomocí tohoto vzorce je obzvláště snadné najít míru iracionality pro kvadratické iracionality , protože jejich expanze do spojitých zlomků jsou periodické. Například pro zlatý řez a poté .
Podle Dirichletova lemmatu , je-li iracionální, pak existuje nekonečný počet p a q takových , že , tedy . V 1844, Liouville dokázal teorém, že pro nějaké algebraické číslo míry , jeden může vybrat konstantu takový to . V roce 1908 Thue toto hodnocení posílil. Další výsledky v tomto směru získali Siegel , Dyson , Gelfond , Schneider . Nejpřesnější odhad dokázal Roth v roce 1955, výsledná věta se nazývá Thue-Siegel-Rothova věta . Tvrdí, že pokud je algebraické iracionální číslo, pak . Za tento důkaz obdržel Roth Fieldsovu medaili .
Pro téměř všechna transcendentální čísla je míra iracionality rovna 2. Je dobře známo, že , a také Liouvilleova čísla jsou známá , která z definice mají nekonečnou míru iracionality. U mnoha jiných transcendentálních konstant je však míra iracionality neznámá, v nejlepším případě je znám nějaký horní odhad. Například: