Lily metoda

Lilyina metoda je grafická metoda pro nalezení skutečných kořenů polynomů libovolného stupně, grafické znázornění Hornerova schématu .

Historie

Metodu navrhl rakouský inženýr Eduard Liel v roce 1867 [1] a zobecnil ji ve své pozdější práci. [2]

Popis metody

• Řešení rovnice 2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 1,5x + 0,75 = 0.

• Není řešením rovnice 2x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 1,5x + 0,75 = 0.

• Tři kořeny -1/2, -1/√2, 1/√2 polynomu 4 x 3  + 2 x 2  - 2 x  - 1. Kořeny odpovídají třem vepsaným polygonálním čarám.

Z počátku souřadnic je nakreslena pravoúhlá polygonální čára. První článek je nakreslen vpravo, jeho délka je rovna nejvyššímu koeficientu; pokud je záporné, pak odkaz končí vlevo od počátku. Od konce prvního segmentu se další segment vykresluje o hodnotu druhého koeficientu, poté vlevo o hodnotu třetího, dolů o hodnotu čtvrtého a tak dále. Sled směrů se v cyklu mění doprava, nahoru, doleva, dolů a poté se opakuje. Každá rotace je tedy proti směru hodinových ručiček (pokud jsou koeficienty kladné). Proces pokračuje pro každý koeficient polynomu, včetně nul. Pro polynom n-tého stupně získáme přerušovanou čáru s n  + 1 vazbami.

Výsledná křivka je vepsána pravoúhlou křivkou spojující konce původní křivky s vrcholy umístěnými postupně na pokračování vazeb původní křivky. Sklon vepsané lomené čáry, braný s opačným znaménkem, je kořenem původního polynomu. Navíc lze tímto způsobem získat jakýkoli skutečný kořen.

Aplikace

• V roce 1936 použila Margarita Belokh Lilyinu metodu při řešení kubických rovnic pomocí origami . [3]
  • Stejná myšlenka se používá k prokázání toho, že skutečné kořeny rovnice jakéhokoli stupně lze nalézt pomocí -fold origami folds. [čtyři]

Poznámky

1. ↑ M.E. Lill. Grafické rozlišení číselných rovnic od všech stupňů od začátku, a popisu nástroje inventé dans ce but  (francouzsky)  // Nouvelles Annales de Mathématiques :časopis. - 1867. - Sv. 2 . - str. 359-362 .
2. ↑ M.E. Lill. Résolution graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires  (francouzsky)  // Nouvelles Annales de Mathématiques :časopis. - 1868. - Sv. 2 . - str. 363-367 .
3. ↑ Thomas C. Hull. Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill  (anglicky)  // American Mathematical Monthly  : journal. - 2011. - Duben. - str. 307-315 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307 .
4. ↑ Roger C. Alperin a Robert J. Lang . Jedno-, dvou- a vícesložkové axiomy origami  (nedefinováno)  // 4OSME. — A. K. Peters, 2009.

Literatura

• Shan-Giray A., Florinsky G. Grafické řešení rovnic. Lilleova metoda  // V.O.F.E.M. . - 1889. - Č. 61 . - S. 6-10 . (Ruština)