Metoda fiktivní oblasti

Metoda fiktivních oblastí je metoda pro přibližné řešení problémů matematické fyziky v geometricky složitých oblastech, založená na přechodu k problému v geometricky jednodušší oblasti (obvykle vícerozměrný rovnoběžnostěn ), která zcela obsahuje původní. [1] Výhodou této metody je pohodlí při sestavování univerzálních programů pro numerické řešení široké třídy okrajových úloh matematické fyziky, které přestávají být závislé na konkrétním typu uvažované oblasti. [2] Nevýhodou této metody je malá přesnost přibližného řešení [3] a složitost vytváření diferenčních schémat a numerického řešení úloh. [2]

Příklad

Zvažte problém nalezení neznámé funkce na základě diferenciální rovnice: $u(x)$

{\frac {d^{2}u}{dx^{2))}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)

s okrajovými podmínkami:

u(0)=0,u(1)=0

Chcete-li problém vyřešit, zvažte fiktivní oblast . Označte jako přibližné řešení úlohy ve fiktivní oblasti. Zde je malý parametr. $0<x<2$ $u_{\epsilon }(x)$ $\epsilon$

Varianta řešení s pokračováním nejvyššími koeficienty

V tomto případě je řešení diferenciální rovnice: $u_{\epsilon }(x)$

{\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0 <x<2\quad(2)

Krokový faktor se vypočítá takto: $k^{\epsilon }(x)$

k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\ end{cases}}

Pravou stranu rovnice (2) reprezentujeme jako:

\phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)

Okrajové podmínky pro rovnici (2):

u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0

Pokud potřebujete nastavit podmínky pro „propojení“: $x=1$

[u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0

kde symbol znamená „mezera“: $[\cdot ]$

[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)

Řešení problému má tvar:

u_{\epsilon }(x)={\begin{cases}x(1+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2}+1}}\epsilon ^{2} -x),&0<x<1\\(2-x)(c_{0}\epsilon ^{2}(x-1)+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2 }+1}}),&1<x<2\end{cases}}

Porovnáním s přesným řešením rovnice (1) získáme odhad chyby: $u(x)=x(1-x)$

u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1

Varianta řešení s pokračováním s ohledem na nejnižší koeficienty

V tomto případě je řešení diferenciální rovnice: $u_{\epsilon }(x)$

{\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon } (x),\quad 0<x<2\quad(4)

Zde definovaný jako v rovnici (3) se koeficient vypočítá jako: $\phi ^{\epsilon }(x)$ $c^{\epsilon }(x)$

c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2. \end{cases}}

Okrajové podmínky pro rovnici (4) jsou stejné jako pro rovnici (2).

Podmínky párování v bodě : $x=1$

[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0

Chyba řešení:

u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1

Poznámky

↑ Marchuk G.I. Metody výpočetní matematiky. - M., Nauka, 1980. - str. 130-136
↑ 1 2 Vabishchevich, 1991 , str. 6.
↑ Vabishchevich, 1991 , s. 5.
↑ Vabishchevich, 1991 , s. 12-16.

Literatura

Vabishchevich PN Metoda fiktivních domén v úlohách matematické fyziky. - M. : MGU, 1991. - 156 s. — ISBN 5-211-01578-9 .