Charakteristická metoda

Metoda charakteristik je metoda řešení parciálních diferenciálních rovnic . Obvykle se používá při řešení parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu, ale lze jej použít i při řešení hyperbolických rovnic vyššího řádu .

Princip

Metoda spočívá v redukci parciální diferenciální rovnice na rodinu obyčejných diferenciálních rovnic .

To vyžaduje nalezení křivek (nazývaných charakteristiky ), podél kterých se parciální diferenciální rovnice změní v obyčejnou diferenciální rovnici. Jakmile jsou obyčejné diferenciální rovnice nalezeny, lze je řešit podle charakteristik a nalezené řešení lze převést na řešení původní parciální diferenciální rovnice.

Příklady

Kvazilineární rovnice v rovině

Uvažujme následující kvazilineární rovnici s ohledem na neznámou funkci $u(x,y)$

a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).

Zvažte povrch v . Normála k této ploše je dána $z=u(x,y)$ $\mathbb {R} ^{3}$

(u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).

Výsledkem je, že rovnice je ekvivalentní geometrickému tvrzení vektorového pole

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))

je tečný k povrchu v každém bodě. $z=u(x,y)$

V tomto případě lze charakteristické rovnice zapsat jako [1] :

{\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z )}},

nebo, pokud x ( t ), y ( t ), z ( t ) jsou funkce parametru t :

{\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z )\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}

To znamená, že povrch je tvořen jednoparametrovou rodinou popsaných křivek. Takový povrch je kompletně definován jedinou křivkou příčnou k vektorovému poli na něm . $z=u(x,y)$ $(a,b,c)$

Transportní rovnice

Uvažujme speciální případ výše uvedené rovnice, tzv. transportní rovnici (vzniká při řešení problému volné expanze plynu do prázdna):

a\cdot u_{x}+u_{t}=0

kde je konstanta a je funkcí proměnných a . $A$ $u$ $X$ $t$

Rádi bychom tuto parciální diferenciální rovnici prvního řádu zredukovali na obyčejnou diferenciální rovnici podél odpovídající křivky, to znamená, abychom získali rovnici tvaru

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))

kde je funkce. $(x(s),t(s)$

Nejprve nastavíme

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\částečné u}{\částečné x}}{\frac {dx}{ds}}+{\ frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}

Nyní, když dáme a , dostaneme ${\frac {dx}{ds}}=a$ ${\frac {dt}{ds}}=1$

a{\frac {\částečné u}{\částečné x))+{\frac {\částečné u}{\částečné t))

, což je levá strana transportní rovnice, se kterou jsme začali. Takto,

{\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\částečné u}{\částečné x}}+{\frac {\částečné u}{\částečné t}}=0.

Jak vidíte, původní rovnice se mění v ODR podél charakteristiky , což znamená, že řešení je podél charakteristiky konstantní. Tedy, , Kde body a leží na stejné vlastnosti. Je vidět, že k nalezení obecného řešení stačí najít charakteristiky rovnice řešením následující soustavy ODR: $(x(s),t(s)$ $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$ $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ $(x_{s},t_{s})$ $(x_{0},0)$

${\frac {dt}{ds}}=1$ když je řešení , $t(0)=0$ $t=s$
${\frac {dx}{ds}}=a$ když je řešení , $x(0)=x_{0}$ ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0))$
${\frac {du}{ds}}=0$ , když je řešení . $u(0)=f(x_{0})$ $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$

V našem případě jsou charakteristiky skupinou čar se sklonem a řešení zůstává konstantní podél každé z charakteristik. $A$ $u$

Prohlášení o Cauchyho problému

Chcete-li vybrat konkrétní řešení z obecného, je nutné položit Cauchyho problém, jako v případě obyčejných diferenciálních rovnic. Počáteční podmínka je uvedena na počáteční hyperpovrchové ploše S:

$u|_{S}=f(x)$

V obecném případě je téměř nemožné formulovat podmínku pro globální řešitelnost Cauchyho problému, ale pokud se omezíme na podmínku lokální řešitelnosti, můžeme použít následující větu:

Řešení Cauchyho úlohy v okolí bodu existuje a je jedinečné, jestliže procházející charakteristika je příčná k ploše S [2] $x_{0}\in S$ ${\displaystyle x_{0))$

Poznámky

↑ Delgado, 1997
↑ E. A. Kuzněcov, D. A. Shapiro METODY MATEMATICKÉ FYZIKY. Část I – PDF ke stažení zdarma . docplayer.ru Staženo: 19. ledna 2020. (neurčitý)

Literatura

Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II , Wiley-Interscience
Delgado, Manuel (1997), The Lagrange-Charpit Method , SIAM Review vol . 39 (2): 298–304 , DOI 10.1137/S0036144595293534
Evans, Lawrence C. (1998), Parciální diferenciální rovnice , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Parciální diferenciální rovnice (4. vydání), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
Polyanin, AD; Zaitsev, VF & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
Polyanin, AD (2002), Příručka lineárních parciálních diferenciálních rovnic pro inženýry a vědce , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
Sarra, Scott (2003), The Method of Characteristics with Applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications .
Streeter, VL & Wylie, EB (1998), mechanika tekutin (International 9. revidované vydání), McGraw-Hill Higher Education