Chasar mnohostěn

Chasar mnohostěn

Animace rotace mnohostěnu, na konci se rozvine
Typ toroidní mnohostěn
Vlastnosti nekonvexní
Vertex conf=
3.3.3.3.3.3
Kombinatorika
Prvky
21 hran
7 vrcholů 		Χ  = 0 ( rod 1)
Fazety 14 trojúhelníků
Dvojitý mnohostěn Silashi mnohostěn
Klasifikace
Skupina symetrie C 1 , [ ] + , (11)

Chasarský mnohostěn  je nekonvexní mnohostěn , topologicky ekvivalentní torusu , se 14 trojúhelníkovými plochami.

Tento mnohostěn nemá žádné úhlopříčky  - libovolný pár vrcholů je spojen hranou. Sedm vrcholů a 21 hran Chasarova polytopu tvoří vložení kompletního grafu do topologického torusu . Z 35 možných trojúhelníků tvořených vrcholy mnohostěnu je pouze 14 ploch. Pokud je sedm vrcholů očíslováno od 1 do 7, lze torus rozřezat na list topologicky ekvivalentní následujícímu:

5———4———7———2 / \ / \ / \ / \ 6———1———3———5———4 / \ / \ / \ / 4———7———2———6 \ / čtyři

Tento vzor lze použít k mozaikování roviny. Na obrázku výše jsou obličeje následující (vrchol 1 v horní části obrázku):

(1, 2, 3) (1, 3, 4) (1, 4, 5) (1, 5, 6) (1, 6, 7) (1, 7, 2)

(2, 3, 6) (6, 3, 5)

(3, 5, 7) (7, 5, 2)

(6, 2, 4) (4, 2, 5)

(4, 6, 7) (4, 7, 3)

S tímto číslováním je umístění vrcholů na konci videoklipu (ve směru hodinových ručiček od 1) následující: 1, 2, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 2, 7, 3, 4 , 5, 6, 7.

Existuje určitá volnost v uspořádání vrcholů, ale některá uspořádání vedou k průniku ploch a otvor se nevytvoří.

Všechny vrcholy jsou topologicky ekvivalentní, jak lze vidět z obkladu roviny na obrázku výše.

Čtyřstěn a Császárův mnohostěn jsou jediné dva mnohostěny (které mají hraniční varietu ) bez úhlopříček, i když existují i ​​jiné mnohostěny, jako je Schoenhardtův mnohostěn , které nemají žádné vnitřní úhlopříčky (tj. všechny úhlopříčky mnohostěnu jsou mimo mnohostěn) , stejně jako plochy bez úhlopříček, které nejsou manifoldy [1] [2] . Pokud je mnohostěn s vrcholy v zapuštěn do plochy s h otvory tak, že jakýkoli pár vrcholů je spojen hranou, z Eulerovy charakteristiky vyplývá, že

Tato rovnost platí pro čtyřstěn s h = 0 a v = 4 a pro mnohostěn Chasar s h = 1 a v = 7. Další možné řešení, h = 6 a v = 12, by mohlo odpovídat mnohostěnu se 44 plochami. a 66 hran, ale nelze jej implementovat. Není známo, zda existují mnohostěny s větším rodem [3] . Obecně lze tuto rovnost splnit pouze tehdy, když se v rovná 0, 3, 4 nebo 7 modulo 12 [4] .

Csasarský mnohostěn je pojmenován po maďarském topologovi Akosovi Csasarovikterý v roce 1949 objevil mnohostěn. Polytop Silashi, duální k polytopu Chasar , byl nalezen v roce 1977 Lajos Silashi.. Má 14 vrcholů, 21 hran a sedm šestiúhelníkových ploch, přičemž každé dvě plochy sdílejí hranu. Stejně jako polytop Chasar má polytop Silashi topologii torusu.

Poznámky

  1. ↑ Szabó, 1984 .
  2. ↑ Szabó, 2009 .
  3. ↑ Ziegler, 2008 .
  4. ↑ Lutz, 2001 .

Literatura

Odkazy