Einsteinův rozdělovač

Tato podmínka je splněna pro řešení Einsteinových rovnic s možná nenulovou kosmologickou konstantou , ale obecně platí, že rozměr Einsteinovy variety a její signatura mohou být libovolné - nemusí se jednat o čtyřrozměrné Lorentzovy variety studované v obecná teorie relativity .

Definice

Riemannova varieta je Einsteinova varieta if

\mathrm {Ric} =k\cdot g

pro nějakou konstantu , kde označuje Ricciho tenzor a je metrický tenzor . $k$ $\mathrm {Ric}$ $G$

V takovém případě se takové potrubí nazývá také Ricci-flat . $k=0$
Einsteinova rovnice s kosmologickou konstantou je následující $\lambda$ $R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =8\cdot \pi \cdot T_{ab},$

ve vakuu je tenzor energie a hybnosti nulový. Takže rovnice se zmenší na

{\displaystyle T_{ab))

R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =0,

který lze přepsat jako

R_{ab}={\frac {2\cdot \Lambda }{n-2}}\cdot g_{ab}.

Tedy pro kosmologickou konstantu , kterou máme .

\lambda

k={\tfrac {2\cdot \Lambda }{n-2))

Jakékoli potrubí s konstantním zakřivením průřezu; zejména:
- Euklidovský prostor je plochý, a proto Ricciho plochý a zejména Einsteinova varieta.
- Jednotková sféra , Einsteinova s . ${\mathbb {S}}^{n}$ $k=n-1$
- Lobačevského prostor je einsteinovský s negativním . $k$
Komplexní projektivní prostory s metrikou Fubini-Study . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Prostor Calabi-Yau Ricci je plochý a zejména je to Einsteinův rozdělovač.

Hitchin-Thorpe nerovnost je nezbytnou topologickou podmínkou pro existenci Einsteinovy metriky na uzavřené , orientované, čtyřrozměrné varietě.