Riemannovy povrchové moduly

Moduly Riemannovy plochy jsou numerické charakteristiky (parametry), které jsou stejné pro všechny konformně ekvivalentní Riemannovy plochy , které společně charakterizují třídu konformní ekvivalence dané Riemannovy plochy.

Motivace

Nezbytnou podmínkou pro konformní ekvivalenci dvou plochých oblastí je stejná konektivita těchto oblastí. Podle Riemannovy věty jsou všechny jednoduše spojené domény s více než jedním hraničním bodem navzájem konformně ekvivalentní: každá taková doména může být konformně mapována na stejnou kanonickou doménu, která je obvykle považována za jednotkovou kružnici. Pro spojovací domény , neexistuje přesný ekvivalent Riemannova teorému: není možné specifikovat žádnou pevnou doménu, na kterou lze univalentně a konformně mapovat všechny domény daného řádu spojení. To vedlo k flexibilnější definici kanonické- spojené oblasti, která označuje obecnou geometrickou strukturu této oblasti, ale nefixuje její moduly. $n$ $n>2$ $n$

Příklady

konformní třídy kompaktních Riemannových ploch rodu se vyznačují reálnými moduly; $g>1$ $6g-6$
torus ( ) je charakterizován dvěma moduly; $g=1$
$n$ -spojená plochá doména, považovaná za Riemannovu plochu s hranicí, je charakterizována moduly pro . $n>3$ $3n-6$
Každá dvojitě spojená doména roviny s nedegenerovanými hraničními kontinuy může být konformně mapována na nějaký kruhový prstenec $D$ $z$

r<|z|<R

, .

0<r<R<\infty

Poměr poloměrů hraničních kružnic tohoto prstence je konformní invariant a nazývá se modul dvojitě spojené domény .

R/r

D

Literatura

Riemannovy povrchové moduly - článek z Encyklopedie matematiky . G. V. Kuzmina, E. D. Solomentsev