Negafibonacci
V matematice jsou non- Gafibonacciho čísla záporně indexované prvky Fibonacciho sekvence .
Negafibonacciho čísla jsou definována induktivně pomocí následujícího rekurzivního vztahu:
- F − 1 = 1,
- F -2 = -1,
- Fn = F ( n +2) −F (n+1) .
Mohou být také definovány vzorcem F −n = (−1) n+1 F n .
Prvních 10 čísel nega-Fibonacciho sekvence je:
| n | F( n ) |
|---|---|
| −1 | jeden |
| −2 | −1 |
| −3 | 2 |
| −4 | −3 |
| −5 | 5 |
| −6 | −8 |
| −7 | 13 |
| −8 | −21 |
| −9 | 34 |
| −10 | −55 |
Reprezentace celého čísla
Jakékoli celé číslo může být jednoznačně reprezentováno – podle práce Donalda Knutha [1] – jako součet ne-Fibonacciho čísel, která nepoužívají žádná dvě po sobě jdoucí ne-Fibonacciho čísla. Například:
- −11 = F −4 + F −6 = (-3) + (-8)
- 12 = F - 2 + F - 7 = (-1) + 13
- 24 = F − 1 + F− 4 + F− 6 + F −9 = 1 + (-3) + (-8) + 34
- −43 = F −2 + F −7 + F −10 = (-1) + 13 + (-55)
- 0 představuje prázdný součet.
Je pozoruhodné, že například 0 = F −1 + F −2 , takže jedinečnost zobrazení skutečně závisí na podmínce nepoužívat žádná dvě po sobě jdoucí čísla, která nejsou Fibonacciho.
To umožňuje nega-Fibonacciho kódovacímu systému kódovat celá čísla podobná reprezentaci Zeckendorfovy věty pro překódování čísel pomocí binární reprezentace. V posloupnosti reprezentující celé číslo x , n -tý je číslice 1, pokud se Fn objeví v součtu, který představuje x ; tato číslice není 0. Například číslo 24 může být reprezentováno posloupností 100101001, která má číslici 1 na místech 9, 6, 4 a 1, protože 24 = F −1 + F −4 + F − 6 + F − 9 . Celé číslo x je reprezentováno lichou délkou sekvence právě tehdy, když .
Totožnosti
Vztahy k normální kladné posloupnosti Fibonacciho čísel:
