Bogomolov-Miaoki-Yauova nerovnost

Nerovnost Bogomolov-Miaoki-Yau je nerovnost

{\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2))

mezi Zhen čísly kompaktních komplexních ploch obecného tvaru . Hlavním zájmem této nerovnosti je možnost omezení možných topologických typů uvažovaného reálného 4-variet. Nerovnici nezávisle na sobě dokázali Yau [1] [2] a Miaoki [3] , poté, co Van de Ven [4] a Fedor Bogomolov [5] dokázali slabší verze nerovnosti s konstantami 8 a 4 místo 3.

Borel a Hirzebruch ukázali, že nerovnost nelze zlepšit nalezením nekonečně mnoha případů, ve kterých rovnost platí. Nerovnice neplatí pro kladné charakteristiky – Leng [6] a Easton [7] uvedli příklady ploch s charakteristikou p , jako je zobecněná Raynaudova plocha , pro kterou nerovnost neplatí.

Výrok o nerovnosti

Bogomolov-Miaoki-Yauova nerovnost je obvykle formulována následovně.

Nechť X je kompaktní komplexní plocha obecného typu a nechť a je první a druhá třída Zhen komplexního tečného svazku plochy. Pak $c_{1}=c_{1}(X)$ $c_{2}=c_{2}(X)$

c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}.

Navíc, pokud platí rovnost, pak X je faktor koule. Poslední tvrzení je důsledkem Yauova přístupu k diferenciální geometrii, který je založen na jeho řešení Calabiho domněnky .

Protože je Eulerova topologická charakteristika a Thom-Hirzebruchův teorém signatury , kde je signatura průnikového tvaru na druhé kohomologii, lze Bogomolov-Miaoki-Yauovu nerovnost přepsat jako omezení topologického typu obecný povrch: $c_{2}(X)=e(X)$ $c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)$ $\sigma (X)$

\sigma (X)\leqslant {\frac {1}{3}}e(X),

a navíc, pokud , univerzální kryt je koule. $\sigma (X)=(1/3)e(X)$

Společně s Noetherovou nerovností vytváří Bogomolov-Miaoki-Yauova nerovnost hranice při hledání složitých povrchů. Zvažování topologických typů, které lze realizovat jako komplexní povrchy, se nazývá povrchová geografie . Viz článek Generic Surfaces .

Plochy s c 1 2 = 3 c 2

Nechť X je plocha obecného typu s , takže Bogomolov-Miaoki-Yauova nerovnost je rovna. Pro takové povrchy Yau [1] dokázal, že X je izomorfní k jednotkovému kuličkovému faktoru v nekonečnou diskrétní grupou. Je obtížné najít příklady povrchů, pro které platí rovnost. Borel [8] ukázal, že existuje nekonečně mnoho hodnot , pro které existují povrchy. Mumford [9] našel falešnou projektivní rovinu s , která má nejmenší možnou hodnotu, protože je vždy dělitelná 12, zatímco Prasad a Yen [10] [11] a Cartwright a Steger [12] ukázali, že existuje přesně 50 falešných projektivních povrchy . ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2))$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2))$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2))$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=9$ ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2))$

Barthel, Hirzebruch a Höfer [13] uvedli příklad vyhledávací metody, která zejména poskytuje povrchy X s . Ishida [14] našel faktor c takového povrchu, a pokud vezmeme nerozvětvené kryty tohoto faktoru, dostaneme příklady c pro libovolné kladné k . Cartwright a Steger [12] našli příklady s pro jakékoli kladné celé číslo n . $c_{1}^{2}=3c_{2}=3^{2}5^{4}$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=45$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=45$ $c_{1}^{2}=3c_{2}=9n$

Poznámky

↑ 12 Yau , 1977 .
↑ Yau, 1978 .
↑ Miyaoka, 1977 .
↑ Van de Ven, 1966 .
↑ Bogomolov, 1978 .
↑ Lang, 1983 .
↑ Eastton, 2008 .
↑ Borel, 1963 .
↑ Mumford, 1979 .
↑ Prasad, Yeung, 2007 .
↑ Prasad, Yeung, 2010 .
↑ 1 2 Cartwright, Steger, 2010 , str. 11–13.
↑ Barthel, Hirzebruch, Höfer, 1987 .
↑ Ishida, 1988 .

Literatura

Donald I. Cartwright, Tim Steger. Výčet 50 falešných projektivních rovin // Comptes Rendus Mahematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Donald I. Cartwright, Tim Steger. Výčet 50 falešných projektivních rovin // Comptes Rendus Mahematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . — S. 11–13 . - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven. Kompaktní komplexní povrchy. - Springer-Verlag, Berlín, 2004. - T. 4. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). - ISBN 978-3-540-00832-3 .
Gottfried Barthel, Friedrich Hirzebruch , Thomas Höfer. Geradenkofigurationen und Algebraische Flächen. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1987. - (Aspekty matematiky, D4). — ISBN 978-3-528-08907-8 .
Fedor A. Bogomolov. Holomorfní tenzory a vektorové svazky na projektivních varietách // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Mathematicheskaya. - 1978. - T. 42 , čís. 6 . - S. 1227-1287 . — ISSN 0373-2436 .
Armand Borel . Kompaktní Clifford-Kleinovy formy symetrických prostorů // Topologie. mezinárodní žurnál matematiky . - 1963. - svazek 2 , č. 1-2 . — S. 111–122 . — ISSN 0040-9383 . - doi : 10.1016/0040-9383(63)90026-0 .
Donald I. Cartwright, Tim Steger. Výčet 50 falešných projektivních rovin. Comptes Rendus Mathematics. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348. - S. 11–13. - doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016 .
Robert W. Easton. Povrchy porušující Bogomolov-Miyaoka-Yau v pozitivní charakteristice // Proceedings of the American Mathematical Society . - 2008. - T. 136 , č.p. 7 . — S. 2271–2278 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-08-09466-5 .
Masa Nori Ishida. Eliptický povrch pokrytý Mumfordovou falešnou projektivní rovinou // The Tohoku Mathematical Journal. druhá série. - 1988. - T. 40 , čís. 3 . — S. 367–396 . — ISSN 0040-8735 . - doi : 10.2748/tmj/1178227980 .
William E. Lang. Aritmetika a geometrie, sv. II. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1983. - T. 36. - S. 167-173. - (Progr. Matematika).
Yoichi Miyaoka. O Chernových číslech ploch obecného typu // Inventiones Mathematicae . - 1977. - T. 42 , no. 1 . — S. 225–237 . — ISSN 0020-9910 . - doi : 10.1007/BF01389789 .
David Mumford . Algebraická plocha s rozsahem K, (K 2 )=9, p g =q=0 // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1979. - V. 101 , no. 1 . — S. 233–244 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2373947 . — .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Falešné projektivní roviny // Inventiones Mathematicae . - 2007. - T. 168 , č.p. 2 . — S. 321–370 . - doi : 10.1007/s00222-007-0034-5 . - arXiv : math/0512115 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Dodatek k "Falešným projektivním rovinám" // Inventiones Mathematicae . - 2010. - T. 182 , č.p. 1 . — S. 213–227 . - doi : 10.1007/s00222-010-0259-6 .
Antonius Van de Ven. O Chernových číslech určitých složitých a téměř složitých variet // Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických . - Národní akademie věd, 1966. - V. 55 , no. 6 . - S. 1624-1627 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . — .
Shing Tung Yau. Calabiho domněnka a některé nové výsledky v algebraické geometrii // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - Národní akademie věd, 1977. - V. 74 , no. 5 . - S. 1798-1799 . — ISSN 0027-8424 . - doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 . — .
Shing Tung Yau. Na Ricciho zakřivení kompaktního Kählerova potrubí a komplexní Monge-Ampère rovnici. I // Komunikace o čisté a aplikované matematice . - 1978. - T. 31 , no. 3 . — S. 339–411 . — ISSN 0010-3640 . - doi : 10.1002/cpa.3160310304 .