Falešná projektivní rovina

Falešná projektivní rovina (nebo Mumfordova plocha ) je jednou z 50 komplexních algebraických ploch , které mají stejná Betti čísla jako projektivní rovina , ale nejsou pro ni homeomorfní . Takovými objekty jsou vždy obecné algebraické plochy .

Historie

Severi se zeptal, zda existují složité povrchy, které jsou homeomorfní k projektivní rovině, ale nejsou k ní biholomorfní. Yau [1] ukázal, že žádné takové plochy neexistují, takže nejbližší aproximaci k projektivní rovině by mohly mít plochy se stejnými Betti čísly jako projektivní rovina.

První příklad nalezl Mumford [2] pomocí p - adické uniformizace, kterou nezávisle zavedli Kurihara a Mustafin. Mumford si také všiml, že Yauův výsledek a Weilův teorém o rigiditě kompaktních podgrup PU(1,2) znamenají, že existuje pouze konečný počet falešných projektivních rovin. Ishida a Kato [3] našli další dva příklady používající podobné metody a Kim [4] našel příklad s automorfismem řádu 7, který je biracionální k cyklickému pokrytí 7. stupně Dolgačevova povrchu . Prasad a Yen [5] [6] našli systematický způsob, jak klasifikovat všechny falešné projektivní roviny tím, že ukázali, že existuje dvacet osm tříd, z nichž každá obsahuje alespoň jeden příklad falešné projektivní roviny až po izometrii, a že pět dalších tříd může existují, ale později se ukázalo, že žádné takové třídy neexistují. Problém výčtu všech falešných projektivních rovin je redukován na výčet všech podgrup vhodného indexu explicitně dané mřížky spojené s každou třídou. Rozšířením těchto výpočtů Cartwright a Stager [7] ukázali, že dvacet osm tříd vyčerpává všechny možnosti pro falešné projektivní roviny a že existuje celkem 50 příkladů definovaných až po izometrii, neboli 100 falešných projektivních rovin biholomorfismů.

Obecná plocha se stejnými Betti čísly jako minimální neobecná plocha musí mít Betti čísla buď projektivní roviny P 2 nebo čtverce P 1 × P 1 . Shavel [8] zkonstruoval některé „falešné kvadriky“ – plochy obecného typu se stejnými Betti čísly jako kvadriky. Další příklady poskytují povrchy Beauville .

Protějšky falešných projektivních ploch ve vyšších dimenzích se nazývají falešné projektivní prostory .

Základní skupina

V důsledku Aubina a Yauovy práce na řešení Calabiho domněnky v případě negativní Ricciho křivosti [1] [9] je jakákoli falešná projektivní rovina faktorem komplexní jednotkové koule diskrétní podgrupou , což je základní skupina falešné projektivní roviny. Tato fundamentální grupa tedy musí být bez torze a musí být kokompaktní diskrétní podgrupou PU(2,1) s Euler-Poincarého charakteristikou 3. Klingler [10] a Jahn [11] ukázali, že tato fundamentální grupa musí být také aritmetickou grupou . Z Mostovoyových výsledků o přísné rigiditě vyplývá, že fundamentální grupa definuje falešnou rovinu v užším smyslu, totiž že každá kompaktní plocha se stejnou fundamentální grupou k ní musí být izometrická.

Dvě falešné projektivní roviny jsou považovány za stejné třídy , pokud jsou jejich základní grupy obsaženy ve stejné podskupině maximálního aritmetického automorfismu jednotkové koule. Prasad a Yen [5] [6] použili Prasadův objemový vzorec [12] pro aritmetické grupy pro seznam 28 neprázdných tříd falešných projektivních rovin a ukázali, že může existovat maximálně pět dalších tříd, které s největší pravděpodobností neexistují. (viz příloha článku , ve které byla aktualizována klasifikace a opraveny některé chyby v původním článku).

Cartwright a Staeger [7] ověřili, že tyto dodatečné třídy ve skutečnosti neexistují a uvedli všechny možnosti v rámci dvaceti osmi tříd. Existuje přesně 50 falešných projektivních rovin až po izometrii, a tedy 100 různých falešných projektivních rovin až po biholomorfismus.

Základní grupou falešné projektivní roviny je aritmetická podgrupa grupy PU(2,1). Označíme k asociované číselné pole (zcela reálné) a G asociovanou k -formu grupy PU(2,1). Jestliže l  je kvadratické rozšíření pole k , nad kterým G je vnitřní forma, pak l je zcela imaginární pole. Existuje algebra dělení D se středem l a stupněm přes l 3 nebo 1, s involucí druhého druhu, která je omezena na netriviální automorfismus l nad k , a netriviální hermitovský tvar na modulu přes D dimenze 1 nebo 3 taková, že G je speciální unitární skupina této hermitovské formy. (V důsledku prací Prasada a Yena [5] a prací Cartwrighta a Staegera má D stupeň 3 nad l a modul má rozměr 1 nad D .) Existuje jedno skutečné místo pole k takové, že body tvaru G tvoří kopii grupy PU (2.1), tvoří kompaktní grupu PU(3) nad všemi ostatními reálnými místy pole k .

Z výsledku Prasada a Yena [5] vyplývá, že grupa automorfismu falešné projektivní roviny je buď cyklická grupa řádu 1, 3 nebo 7, nebo necyklická grupa řádu 9, nebo neabelovská skupina řádu 21. Faktory falešných projektivních rovin nad těmito skupinami studovali Kim [13] , Cartwright a Staeger [7] .

Seznam 50 falešných projektivních rovin

k l T Index Falešné projektivní roviny
Q 5 3 3 falešná letadla ve 3 třídách
3 3 3 falešná letadla ve 3 třídách
2 21 7 falešných letadel ve 2 třídách. Jedna z těchto tříd obsahuje příklady od Mumforda a Kima.
2, 3 3 4 falešná letadla ve 2 třídách
2.5 jeden 2 falešná letadla ve 2 třídách
2 3 10 falešných letadel ve 4 třídách, včetně příkladů nalezených Ishidou a Katem.
2 jeden 2 falešná letadla ve 2 třídách
2 3 2 falešná letadla ve 2 třídách
2 9 7 falešných letadel ve 2 třídách
2 nebo 2.3 1 nebo 3 nebo 9 5 falešných letadel ve 3 třídách
2 nebo 3.3 21 nebo 3.3 5 falešných letadel ve 3 třídách

Poznámky

  1. ↑ 12 Yau , 1977 .
  2. ↑ Mumford, 1979 .
  3. ↑ Ishida, Kato, 1998 .
  4. ↑ Keum, 2006 .
  5. ↑ 1 2 3 4 Prasad, Yeung, 2007 .
  6. ↑ 12 Prasad , Yeung, 2010 .
  7. ↑ 1 2 3 Cartwright, Steger, 2010 .
  8. ↑ Shavel, 1978 .
  9. ↑ Yau, 1978 .
  10. ↑ Klinger, 2003 .
  11. ↑ Yeung, 2004 .
  12. ↑ Prasad, 1989 .
  13. ↑ Keum, 2008 .

Literatura

Odkazy