Neredukovatelný zlomek

V matematice , neredukovatelný ( redukovaný ) zlomek je obyčejný zlomek formy , která nemůže být redukována . Jinými slovy, zlomek je neredukovatelný, jestliže jeho čitatel a jmenovatel jsou coprime [1] , to znamená, že nemají žádné společné dělitele kromě . Například zlomek je neredukovatelný, ale můžete snížit: $\pm {\frac {m}{n}}$ $\pm 1$ ${\frac {121}{90}}$ ${\frac {120}{90}}$ ${\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.$

Běžné zlomky

Každé nenulové racionální číslo lze jednoznačně reprezentovat jako neredukovatelný zlomek tvaru , kde je celé číslo a je přirozené číslo. Toto vyplývá ze základního teorému aritmetiky . Pokud je povoleno, aby jmenovatel byl záporný , je možné druhé neredukovatelné zobrazení: ${\frac {m}{n)),$ $m$ $n$ $n$

-{\frac {4}{5}}={\frac {-4}{5}}={\frac {4}{-5}}

Pro zmenšení obyčejného zlomku na neredukovatelný tvar je nutné jeho čitatel a jmenovatel vydělit největším společným dělitelem [2] GCD K nalezení největšího společného dělitele se obvykle používá Euklidův algoritmus nebo rozklad na prvočinitele . $\pm {\frac {m}{n))$ $(m,n).$

Pro celé číslo n je reprezentace neredukovatelného zlomku

n={\frac {n}{1}}\

Variace a zobecnění

Vlastnosti neredukovatelnosti, které existují pro běžné zlomky, platí pro libovolný faktoriální kruh , tedy kruh, ve kterém platí analogie základní věty aritmetiky . Libovolný zlomek z prvků faktoriálního kruhu (s nenulovým jmenovatelem) může být reprezentován v neredukovatelné formě a jednoznačně až po dělitele jednoty tohoto kruhu.

Okruh Gaussových čísel se skládá z komplexních čísel ve tvaru , kde jsou celá čísla. Existují čtyři dělitele jednoty: Tento kruh je faktoriál a teorie zlomků pro něj je konstruována podobně jako celá čísla.Je například snadné ověřit [3] , že zlomek lze redukovat na (již neredukovatelný) $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$ ${\frac {4+2i}{4+7i}}$ ${\frac {2}{3+2i}}.$

Polynomy s koeficienty z nějakého kruhu také tvoří faktoriální kruh - kruh polynomů . racionální funkce , tedy zlomky, v jejichž čitatelích a jmenovatelích jsou polynomy . Dělitelé jednoty zde budou nenulová čísla (jako polynomy nultého stupně). Nejednoznačnost reprezentace může být odstraněna tím, že vyžaduje to polynomial ve jmenovateli být redukován .

Nicméně, nad libovolným kruhem , prvek kruhu zlomků , obecně řečeno, nemusí mít jedinečnou reprezentaci až po dělitele jednoty ve formě neredukovatelného zlomku, protože hlavní teorém aritmetiky neplatí. v každém prstenu [4] . Uvažujme například komplexní čísla ve tvaru , kde , jsou celá čísla. Součet a součin takových čísel budou čísla stejného druhu, takže tvoří prstenec. Není to však faktoriál a neredukovatelná reprezentace zlomků je nejednoznačná, například: $a=m+in{\sqrt {5}}$ $m$ $n$

{\frac {6}{3(1+i{\sqrt {5))))}}={\frac {2}{1+i{\sqrt {5}}}}={\frac { 1-i{\sqrt {5}}}{3}}

Druhý a třetí zlomek mají pro daný kruh prvočísla v čitateli i jmenovateli, takže oba zlomky jsou neredukovatelné.

Poznámky

↑ Gusev, Mordkovich, 2013 , str. 29-30.
↑ Vygodsky, 2006 , s. 81-82.
↑ Weisstein, Eric W. Irreducible Fraction na webu Wolfram MathWorld .
↑ Žikov V.V. Základní teorém aritmetiky // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , č. 3 . - S. 112-117 .

Literatura

Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. - M. : AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 .
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika: studijní příručka. — M .: Astrel, 2013. — 671 s. - (Příručka pro studenty). - ISBN 978-5-271-07165-2 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Reduced Fraction at Wolfram MathWorld .