Dělitelnost

Dělitelnost je jedním ze základních pojmů aritmetiky a teorie čísel spojených s operací dělení . Z hlediska teorie množin je dělitelnost celých čísel relace definovaná na množině celých čísel .

Definice

Pokud pro nějaké celé číslo a celé číslo takové celé číslo existuje , pak říkají, že číslo je dělitelné nebo které dělí $A$ $b$ $q$ $bq=a,$ $A$ $b$ $b$ $A.$

V tomto případě se číslo nazývá dělitel čísla , dělenec bude násobkem čísla a číslo se nazývá podíl dělení číslem . $b$ $A$ $A$ $b$ $q$ $A$ $b$

Přestože je vlastnost dělitelnosti definována na celé množině celých čísel , obvykle se uvažuje pouze o dělitelnosti přirozených čísel . Zejména funkce počtu dělitelů přirozeného čísla počítá pouze jeho kladné dělitele.

Notace

$a\,\vtečky \,b$ znamená [1] , které je dělitelné , nebo že číslo je násobkem . $A$ $b$ $A$ $b$

$b/střed a$ znamená, že dělí , nebo, co je totéž: - dělitel . $b$ $A$ $b$ $A$

Související definice

Každé přirozené číslo větší než 1 má alespoň dva přirozené dělitele: 1 a samotné číslo. V tomto případě se přirozená čísla, která mají právě dva dělitele, nazývají prvočíslo a čísla s více než dvěma děliteli se nazývají složená . Jednotka má právě jednoho dělitele a není ani prvočíslo, ani složené.
Každé přirozené číslo větší než má alespoň jednoho prvočíselného dělitele . $jeden$
Správný dělitel čísla je jakýkoli jiný dělitel než samotné číslo. Prvočísla mají právě jednoho správného dělitele, jedničku.
Používá se také koncept triviálních dělitelů : jedná se o samotné číslo a jednotku. Prvočíslo lze tedy definovat jako číslo, které nemá žádné jiné dělitele než triviální.
Bez ohledu na dělitelnost celého čísla celým číslem lze číslo vždy dělit zbytkem , to znamená: $A$ $b\neq 0$ $A$ $b$ $a=b\,q+r,$ kde . $0\leqslant r<|b|$

V tomto vztahu se číslo nazývá neúplný kvocient a číslo je zbytek po dělení . Kvocient i zbytek jsou jednoznačně definovány.

q

r

A

b

Číslo je rovnoměrně dělitelné právě tehdy, když je zbytek po dělení nula .

A

b

A

b

Jakékoli číslo, které dělí oba a je nazýváno jejich společným dělitelem ; největší z těchto čísel se nazývá největší společný dělitel . Každý pár celých čísel má alespoň dva společné dělitele: a . Pokud neexistují žádné další společné dělitele, pak se tato čísla nazývají relativně prvočísla . $A$ $b$ $+1$ $-jeden$
Dvě celá čísla a se říká, že jsou stejně dělitelné celým číslem , pokud buď a , a je dělitelné , nebo ani , ani jím není dělitelné. $A$ $b$ $m$ $A$ $b$ $m$ $A$ $b$
Číslo se nazývá násobkem čísla , pokud je dělitelné beze zbytku. Pokud je číslo beze zbytku dělitelné čísly a , pak se nazývá jejich společný násobek . Nejmenší takové přirozené číslo se nazývá nejmenší společný násobek čísel a . $A$ $b$ $A$ $b$ $C$ $A$ $b$ $C$ $A$ $b$

Vlastnosti

Poznámka: Všechny vzorce v této části předpokládají, že jsou celá čísla.

a,\,b,\,c

Jakékoli celé číslo je nulový dělitel a podíl je nula:

\quad0\,\vdots\,a.

Jakékoli celé číslo je dělitelné jednou:

\quad a\,\vdots\,1.

Nulou je dělitelná pouze nula:

a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0

a kvocient v tomto případě není definován.

Jedna je dělitelná pouze jednou:

1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.

Pro jakékoli celé číslo existuje celé číslo , pro které $a\neq 0$ $b\neq a,$ $b\,\vdots\,a.$

Pokud a pak Z toho také vyplývá, že pokud a potom $a\,\vtečky \,b$ $\left|b\right|>\left|a\right|,$ $a\,=\,0.$ $a\,\vtečky \,b$ $a\neq 0$ $\left|a\right|\geqslant \left|b\right|.$

Aby to bylo nutné a dostačující $a\,\vtečky \,b$ $\left|a\right|\vdots \left|b\right|.$

Pokud pak $a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\tečky ,\,a_{n}\,\vdots \,b,$ $\left(a_{1}+a_{2}+\tečky +a_{n}\vpravo)\,\vtečky \,b.$

Relace dělitelnosti přirozených čísel je relace nepřísného řádu a zejména je to:
- reflexně , to znamená, že jakékoli celé číslo je dělitelné samo sebou: $\quad a\,\vdots \,a.$
- tranzitivní , tj. když a pak $a\,\vtečky \,b$ $b\,\vdots\,c,$ $a\,\vdots\,c.$
- antisymetrický , tj. když a pak $a\,\vtečky \,b$ $b\,\vdots\,a,$ $a\,=\,b.$

V celočíselné soustavě platí pouze první dvě z těchto tří vlastností; například a ale . To znamená, že poměr dělitelnosti celých čísel je pouze předobjednávka .

2\,\vdots-2

-2\,\vdots \,2,

2\neq -2

Počet dělitelů

Počet kladných dělitelů přirozeného čísla , obvykle označovaný jako multiplikativní funkce , pro kterou platí asymptotický Dirichletův vzorec : $n,$ $\tau(n),$

\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\vpravo).

Zde je Euler-Mascheroniho konstanta a pro Dirichlet byl tento výsledek mnohokrát vylepšen a v současnosti je nejznámějším výsledkem (získaným v roce 2003 Huxleym). Nejmenší hodnota , při které tento vzorec zůstane pravdivý, však není známa (je prokázáno, že není menší než ). [2] [3] [4] $\gamma$ $\theta$ ${\frac {1}{2}}.$ $\theta ={\frac {131}{416}}$ $\theta$ ${\frac {1}{4))$

V tomto případě průměrný dělitel velkého čísla n roste v průměru jako , což objevil A. Karatsuba [5] . Podle počítačových odhadů M. Koroljova . ${\frac {c_{1}n}{{\sqrt {\ln n))))$ $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}} \ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\cca 0{,}7138067$

Zobecnění

Pojem dělitelnosti zobecňuje na libovolné kruhy , jako jsou Gaussova celá čísla nebo polynomiální kruh .

Viz také

Odkazy

Video o dělitelnosti

Poznámky

↑ Vorobjov, 1988 , s. 7.
↑ A. A. Bukhshtab. Teorie čísel . - M .: Vzdělávání, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analytická teorie čísel // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ V. a Arnold. Dynamika, statistika a projektivní geometrie Galoisových polí. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 s.

Literatura

Vinogradov I.M. Základy teorie čísel. M.-L.: Stát. vyd. technická a teoretická literatura, 1952, 180 s.
Vorobyov N. N. Známky dělitelnosti . - 4. vyd. - M. : Nauka, 1988. - T. 38. - 96 s. - ( Populární přednášky o matematice ). — ISBN 5-02-013731-6 .
Dělitelnost // Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A. P. Savin. - M . : Pedagogika , 1985. - S. 95 . — 352 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Britannica (online)

Čísla podle charakteristik dělitelnosti
Obecná informace	Faktorizace celých čísel Dělitelnost unitární dělitel Funkce děliče prvočíslo Základní teorém aritmetiky Aritmetické číslo
Faktorizační formy	prvočíslo Složené číslo Semiprime obdélníkové číslo Sfénické číslo Číslo bez čtverců Plný násobek Perfektní stupeň Achillovo číslo hladké číslo Běžné číslo hrubé číslo neobvyklé číslo
S omezenými děliteli	dokonalé číslo Poněkud nedostatečná čísla Trochu nadbytečná čísla Multiperfektní číslo Hemiperfektní čísla hyperdokonalé číslo super dokonalé číslo unitární prvočíslo polodokonalé číslo pararytmické číslo Erdős-Nicolasovo číslo
Čísla s mnoha děliteli	Přebytečná čísla Primitivní nadbytečná čísla Vysoce nadbytečná čísla Super redundantní čísla Velmi nadbytečná čísla superkompozitní číslo Vysoce superkompozitní číslo podivné číslo
Souvisí s alikvotními sekvencemi	posvátné číslo přátelská čísla veřejná čísla Kvazi přátelská čísla
jiný	Nedostatek čísel čísla kamarádů sublimovaná čísla Rudná čísla skromné číslo Stejné číslice extravagantní číslo