Číslo rudy

Rudé číslo je přirozené číslo, jehož harmonický průměr dělitelů je celé číslo . Představený Oistin Ore v roce 1948 . Prvních pár čísel Rudy:

1 , 6 , 28 , 140 , 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, … [1] .

Například Rudé číslo 6 má dělitele 1, 2, 3 a 6. Jejich harmonický průměr je celé číslo:

{\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}} }}=2.

Číslo 140 má dělitele 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 a 140. Jejich harmonický průměr je:

{\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\ frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.

5 je celé číslo, což znamená, že 140 je číslo rudy.

Rudná čísla a dokonalá čísla

Pro jakékoli celé číslo je součin harmonického průměru a aritmetického průměru jeho dělitelů roven samotnému číslu , což vyplývá přímo z definic. Je tedy ore číslo s harmonickým průměrem dělitelů právě tehdy, když aritmetický průměr dělitelů je podílem . $M$ $M$ $M$ $k$ $M$ $k$

Ruda ukázala, že každé dokonalé číslo je číslo rudy. Protože součet dělitelů dokonalého čísla je přesně , průměr dělitelů je , kde je počet dělitelů čísla . Pro libovolné číslo je číslo liché právě tehdy, když je to dokonalý čtverec , jinak může být každý dělitel čísla spojen s jiným dělitelem - . Žádné dokonalé číslo ale nemůže být dokonalým čtvercem, to vyplývá ze známých vlastností sudých dokonalých čísel a lichá dokonalá čísla (pokud existují) musí mít faktor tvaru , kde . Pro dokonalé číslo je tedy počet dělitelů sudý a průměr dělitelů je součinem . Jedná se tedy o rudní číslo. $M$ $2M$ $M(2/\tau (M))$ $\tau (M)$ $M$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $d$ $M$ $m/d$ $q^{\alpha }$ $\alpha \equiv 1{\pmod 4}$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $2/\tau (M)$ $M$

Ore se domníval, že neexistují žádná lichá čísla rudy jiná než 1. Pokud je dohad správný, pak neexistují žádná lichá dokonalá čísla .

Hranice a počítačové vyhledávání

Je ukázáno, že každé liché číslo rudy větší než 1 musí mít prvočinitel větší než 10 7 a že každé takové číslo musí mít alespoň tři odlišné prvočíslo. Kromě toho bylo zjištěno, že neexistují žádná lichá čísla rudy menší než 10 24 .

Byly provedeny pokusy získat seznam všech malých rudných čísel pomocí počítače, ve výsledku byla nalezena všechna rudní čísla do 2 × 10 9 a všechna čísla, u nichž harmonický průměr nepřesahuje 300.

Poznámky

↑ OEIS sekvence A001599 _

Literatura

Bogomolnyj, Alexandr. Identita týkající se průměrů dělitelů daného celého čísla . Staženo: 10. září 2006. (neurčitý)

Cohen, Graeme L. Čísla, jejichž kladné dělitele mají malý integrální harmonický průměr // Matematika počítání . - 1997. - T. 66 . — S. 883–891 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00819-3 .

Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Lichá harmonická čísla přesahují 10 24 // Matematika počítání. - 2010. - T. 79 , č. 272 . - S. 2451 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.1090/S0025-5718-10-02337-9 . Vydáno elektronicky 9. dubna 2010.

Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonická čísla . Staženo: 10. září 2006. (neurčitý)

Richard K Guy. Neřešené problémy v teorii čísel. — 3. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .

Joseph B. Muskat. O dělitelích lichých dokonalých čísel // Matematika počítání. - American Mathematical Society, 1966. - V. 20 , no. 93 . — S. 141–144 . - doi : 10.2307/2004277 . — .

Øysteinská ruda. O průměrech dělitelů čísla // American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America, 1948. - V. 55 . — S. 615–619 . - doi : 10.2307/2305616 . — .

Weisstein, Eric W. Harmonic Divisor Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Čísla podle charakteristik dělitelnosti
Obecná informace	Faktorizace celých čísel Dělitelnost unitární dělitel Funkce děliče prvočíslo Základní teorém aritmetiky Aritmetické číslo
Faktorizační formy	prvočíslo Složené číslo Semiprime obdélníkové číslo Sfénické číslo Číslo bez čtverců Plný násobek Perfektní stupeň Achillovo číslo hladké číslo Běžné číslo hrubé číslo neobvyklé číslo
S omezenými děliteli	dokonalé číslo Poněkud nedostatečná čísla Trochu nadbytečná čísla Multiperfektní číslo Hemiperfektní čísla hyperdokonalé číslo super dokonalé číslo unitární prvočíslo polodokonalé číslo pararytmické číslo Erdős-Nicolasovo číslo
Čísla s mnoha děliteli	Přebytečná čísla Primitivní nadbytečná čísla Vysoce nadbytečná čísla Super redundantní čísla Velmi nadbytečná čísla superkompozitní číslo Vysoce superkompozitní číslo podivné číslo
Souvisí s alikvotními sekvencemi	posvátné číslo přátelská čísla veřejná čísla Kvazi přátelská čísla
jiný	Nedostatek čísel čísla kamarádů sublimovaná čísla Rudná čísla skromné číslo Stejné číslice extravagantní číslo