Přátelská čísla

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. března 2021; kontroly vyžadují 7 úprav .

Přátelská čísla jsou dvě různá přirozená čísla , pro která je součet všech vlastních dělitelů prvního čísla roven druhému číslu a naopak, součet všech vlastních dělitelů druhého čísla je roven prvnímu číslu. To znamená, že dvojice přirozených čísel se nazývá přátelská, pokud: $M, N$

m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{k}=N,

n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{l}=M,

kde jsou dělitelé čísla , jsou dělitelé čísla . ${\displaystyle m_{1},m_{2},...m_{k))$ $M$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},...n_{l))$ $N$

Tyto páry nemají velký význam pro teorii čísel , ale jsou zvláštním prvkem zábavné matematiky .

Někdy jsou dokonalá čísla považována za zvláštní případ přátelských čísel : každé dokonalé číslo je přátelské samo k sobě.

Pokud vezmeme v úvahu všechny dělitele, dostaneme: nebo jinou definici spřátelených čísel, ekvivalentní této. Dvě čísla se nazývají přátelský pár , pokud mají stejný součet všech svých dělitelů, který se rovná součtu těchto čísel. $\sigma (M)-M=N$ $\sigma (M)=M+N=\sigma (N)$

Podobně tři čísla tvoří přátelskou trojici , pokud mají stejný součet všech svých dělitelů, který se rovná součtu těchto čísel. . $\sigma (M)=\sigma (N)=\sigma (K)=M+N+K$

Historie

Přátelská čísla byla objevena stoupenci Pythagoras ; podařilo se jim však najít pouze jeden pár spřátelených čísel – 220 a 284.

Seznam dělitelů pro 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 a 110 - jejich součet je 284.
Seznam dělitelů pro 284: 1, 2, 4, 71 a 142 - a součet je 220.

Kolem roku 850 navrhl arabský astronom a matematik Thabit ibn Qurra vzorec pro nalezení párů spřátelených čísel. Jeho vzorec umožnil najít dvě nové dvojice přátelských čísel:

17296 a 18416 ;
9 363 584 a 9 437 056 .

V 18. století našel Euler dostatečné kritérium pro sestavení dvojic spřátelených čísel a v jeho seznamu bylo již 90 dvojic. Pravda, toto kritérium nepokrývá všechny páry: např. Euler si páru nevšiml (1184, 1210) - byl objeven již v 19. století. Ve 20. století pomohly počítače najít desítky milionů párů. Ale stále neexistuje účinný obecný způsob, jak všechny takové páry najít.

První páry

Páry spřátelených čísel tvoří posloupnost A063990 v OEIS a čísla, která jsou v jejich spřáteleném páru menší, se shromažďují v posloupnosti A002025 a větší jsou A002046 . Součty čísel v každém páru tvoří posloupnost A180164 . Je pozoruhodné, že všechny takové součty, členy kde jsou sudé, až do (součet a ) jsou dělitelné . Částky nedělitelné jsou v A291550 . $1362660800=2^{6}\cdot 5^{2}\cdot 31\cdot 83\cdot 331$ $666030256$ $696630544$ $9$ $9$

220 a 284 ( Pythagoras , asi 500 př.nl)
1184 a 1210 (Paganini, 1866 )
2620 a 2924 ( Euler , 1747 )
5020 a 5564 ( Euler , 1747 )
6232 a 6368 ( Euler , 1750 )
10 744 a 10 856 ( Euler 1747 )
12 285 a 14 595 (Brown 1939 )
17296 a 18416 ( Ibn al-Banna , cca 1300 ; Farisi , cca 1300 ; Ferma , 1636 )
63 020 a 76 084 ( Euler , 1747 )
66928 a 66992 ( Euler 1750 )
67 095 a 71 145 ( Euler , 1747 )
69 615 a 87 633 ( Euler , 1747 )
79 750 a 88 730 (Rolf, 1964 )
100 485 a 124 155
122 265 a 139 815
122 368 a 123 152
141 664 a 153 176
142 310 a 168 730
171 856 a 176 336
176 272 a 180 848
185 368 a 203 432
196 724 a 202 444
280 540 a 365 084
308 620 a 389 924
319 550 a 430 402
356 408 a 399 592
437 456 a 455 344
469 028 a 486 178
503 056 a 514 736
522 405 a 525 915
600 392 a 669 688
609 928 a 686 072
624 184 a 691 256
635 624 a 712 216
643 336 a 652 664
667 964 a 783 556
726 104 a 796 696
802 725 a 863 835
879 712 a 901 424
898 216 a 980 984
947 835 a 1 125 765
998 104 a 1 043 096
atd.

Způsoby výstavby

Formule Thabit ibn Qurra

Pokud jsou pro přirozené číslo všechna tři čísla: $n>1$

p=3\krát 2^{{n-1}}-1

q=3\krát 2^{n}-1

r=9\krát 2^{{2n-1}}-1

jsou prvočísla , pak čísla a tvoří dvojici spřátelených čísel. $2^{n}pq$ $2^{n}r$

Tento vzorec udává dvojice (220, 284), ( 17296 , 18416 ) a ( 9363584 , 9437056 ) pro , ale neexistují žádné další dvojice přátelských čísel, které by bylo možné získat z tohoto vzorce pro . $n=2,\;4,\;7$ $n<20~000,$

Eulerův vzorec

Euler rozšířil vzorec Thabit ibn Qurra. Pokud pro přirozená všechna tři čísla: $n>m$

p=(2^{nm}+1)\krát 2^{m}-1

q=(2^{nm}+1)\times 2^{n}-1

r=(2^{nm}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1

jsou prvočísla , pak čísla a tvoří dvojici spřátelených čísel. Vzorec Thabit ibn Qurra se získá z Eulerova vzorce substitucí . Eulerův vzorec přidal do seznamu přátelských čísel pouze 2 páry: $2^{n}pq$ $2^{n}r$ $m=n-1$ $(m,n)=(1,8),(29,40).$

Metoda Waltera Bohra

Jestliže pro dvojici spřátelených čísel tvaru a čísla a jsou prvočísla a nejsou dělitelná , pak pro všechna přirozená čísla, pro která jsou prvočísla jak čísla , tak prvočísla, jsou čísla a spřátelená. $A=au$ $B=as$ $s$ $p=u+s+1$ $A$ $p$ $n$ $q_{1}=(u+1)p^{{n+1}}-1$ $q_{2}=(u+1)(s+1)p^{n}-1$ $B_{1}=Ap^{n}q_{1}$ $B_{2}=ap^{n}q_{2}$

Otevřené problémy

Není známo, zda je počet dvojic spřátelených čísel konečný nebo nekonečný. K dubnu 2016 je známo více než 1 000 000 000 párů přátelských čísel [1] . Všechny se skládají z čísel stejné parity.

Není známo, zda existuje sudý-lichý pár přátelských čísel.

Není také známo, zda existují spřátelená čísla, ale pokud takový pár spřátelených čísel existuje, jejich součin musí být větší než 10 67 .

Zajímavosti

Dvojici spřátelených čísel 1184 a 1210 objevil v roce 1866 italský školák - Niccolo Paganini - úplný jmenovec slavného virtuosa a skladatele . Je zvláštní, že tuto dvojici neobjevili jiní velcí matematici.

Za prvé, počet známých spřátelených čísel s n číslicemi převážně roste a dosahuje maxima při n = 111 ( je známo 19 790 790 párů spřátelených čísel se 111 desetinnými číslicemi), ale pak převážně klesá a dosahuje nuly při n = 917 (neexistují žádné známé 917místné dvojice spřátelených čísel).čísla). Zde je počet číslic páru počtem číslic menšího čísla páru.

Projekt BOINC

Dne 30. ledna 2017 byl spuštěn projekt distribuovaných výpočtů na platformě BOINC - Amicable Numbers [2] . Hledání přátelských čísel se provádí jak pomocí výpočtů na procesoru, tak na grafické kartě .

Viz také

Poznámky

↑ Sergei Chernykh Amicable Pairs seznam Archivováno 16. srpna 2017 na Wayback Machine
↑ Veřejné spuštění 30. ledna 2017

Odkazy

M. García, JM Pedersen, HJJ te Riele. Přátelské páry, průzkum (neopr.) // Zpráva MAS-R0307. - 2003. Archivováno 29. listopadu 2006. Archivováno 29. listopadu 2006 na Wayback Machine
Weisstein, Eric W. Amicable Pair (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Euler's Rule (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Amicable Numbers je projekt BOINC pro nalezení přátelských čísel.

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)

Čísla podle charakteristik dělitelnosti
Obecná informace	Faktorizace celých čísel Dělitelnost unitární dělitel Funkce děliče prvočíslo Základní teorém aritmetiky Aritmetické číslo
Faktorizační formy	prvočíslo Složené číslo Semiprime obdélníkové číslo Sfénické číslo Číslo bez čtverců Plný násobek Perfektní stupeň Achillovo číslo hladké číslo Běžné číslo hrubé číslo neobvyklé číslo
S omezenými děliteli	dokonalé číslo Poněkud nedostatečná čísla Trochu nadbytečná čísla Multiperfektní číslo Hemiperfektní čísla hyperdokonalé číslo super dokonalé číslo unitární prvočíslo polodokonalé číslo pararytmické číslo Erdős-Nicolasovo číslo
Čísla s mnoha děliteli	Přebytečná čísla Primitivní nadbytečná čísla Vysoce nadbytečná čísla Super redundantní čísla Velmi nadbytečná čísla superkompozitní číslo Vysoce superkompozitní číslo podivné číslo
Souvisí s alikvotními sekvencemi	posvátné číslo přátelská čísla veřejná čísla Kvazi přátelská čísla
jiný	Nedostatek čísel čísla kamarádů sublimovaná čísla Rudná čísla skromné číslo Stejné číslice extravagantní číslo