Hyperdokonalé číslo

Hyperdokonalé číslo  je k -hyperdokonalé číslo pro nějaké celé číslo k . k -hyperdokonalé číslo - přirozené číslo n pro které

kde σ ( n ) je funkce dělitele (tj. součet všech kladných dělitelů čísla).

Hyperdokonalá čísla jsou zobecněním dokonalých čísel , která jsou 1-hyperdokonalá.

Prvními členy posloupnosti hyperdokonalých čísel jsou 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, … (sekvence A034897 v OEIS ), s odpovídajícími hodnotami k 1, 2, 1, 6, 3, 1 , 12, … (sekvence A034898 v OEIS). První hyperdokonalá čísla, která nejsou dokonalá, jsou 21, 301, 325, 697, 1333, ... (sekvence A007592 v OEIS).

Seznam hyperdokonalých čísel

Následující tabulka uvádí některé posloupnosti k-hyperdokonalých čísel pro některá k.

To může být dokázáno, že jestliže k > 1 je liché celé číslo a p = (3 k + 1) / 2 a q = 3 k + 4 jsou prvočísla , pak p² q k je hyperperfect ; V roce 2000 Judson S. McCranie navrhl, že všechna k-hyperdokonalá čísla pro liché k > 1 mají tento tvar, ale tento dohad ještě nebyl prokázán. Navíc lze dokázat, že pokud p ≠ q jsou lichá prvočísla a k je celé číslo takové, že k (p + q) = pq - 1, pak pq je k-hyperdokonalé.

Lze také ukázat, že pokud k>0 a p = k + 1 je prvočíslo, pak pro všechna i>1 takové, které  je prvočíslo, je k-hyperdokonalé.

V následující tabulce jsou uvedeny známé hodnoty k a odpovídající hodnoty i, pro které n je k-hyperdokonalé:

Hyperdeficience

Nedávno představený matematický koncept hypernedostatečných čísel souvisí s hyperdokonalými čísly.

Definice (Minoli 2010): Pro jakékoli celé číslo n a pro celé číslo k, -∞ <k <∞ definujte k-hyperdeficit (nebo jednoduše hyperdeficit) jako

Číslo n se nazývá k-hypersuficientní, pokud δ k (n) > 0.

Všimněte si, že pro k = 1 dostáváme δ 1 (n) = 2n-σ(n), což je standardní tradiční definice nedostatečného počtu .

Lemma : Číslo n je k-hyperdokonalé (včetně k = 1) právě tehdy, když n je k-hyperdeficientní, δ k (n) = 0.

Lemma : Číslo n je k-hyperdokonalé (včetně k = 1) právě tehdy, když pro nějaké k platí δ k-j (n) = -δ k + j (n) alespoň pro jedno j>0.

Odkazy

• Příručka teorie čísel I  (neopr.) / Sándor, József; Mitrinovič, Dragoslav S.; Crstici, Bořislav. - Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. - S. 114. - ISBN 1-4020-4215-9 .

Další čtení

Články

• Minoli, Daniel & Bear, Robert (podzim 1975), Hyperdokonalá čísla, Pi Mu Epsilon Journal vol. 6 (3): 153–157  .
• Minoli, Daniel (prosinec 1978), Dostatečné formy pro zobecněná dokonalá čísla, Annales de la Faculté des Sciences UNAZA vol . 4 (2): 277–302  .
• Minoli, Daniel (únor 1981), Structural issues for hyperperfect numbers, Fibonacci Quarterly vol . 19 (1): 6–14  .
• Minoli, Daniel (duben 1980), Issues in non-linear hyperperfect numbers , Mathematics of Computation , svazek 34 (150): 639–645 , DOI 10.2307/2006107  .
• Minoli, Daniel (říjen 1980), Nové výsledky pro hyperdokonalá čísla, Abstracts of the American Mathematical Society , svazek 1 (6): 561  .
• Minoli, Daniel & Nakamine, W. (1980), Mersennova čísla zakořeněná na 3 pro teoretické transformace čísel, Mezinárodní konference o akustice, řeči a zpracování signálu  .
• McCranie, Judson S. (2000), Studie hyperperfektních čísel , Journal of Integer Sequences svazek 3 , < http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html > . Získáno 29. července 2017. Archivováno 5. dubna 2004 na Wayback Machine . 
• te Riele, Herman JJ (1981), Hyperdokonalá čísla se třemi různými prvočísly , Math. Comp. T. 36: 297-298 , DOI 10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9  .
• te Riele, Herman JJ (1984), Pravidla pro konstrukci hyperdokonalých čísel, Fibonacci Q. T. 22: 50–60  .

Knihy

• Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (str. 114-134)

Odkazy

• MathWorld: Hyperperfect number Archivováno 15. srpna 2017 na Wayback Machine
• Dlouhý seznam hyperdokonalých čísel pod Data