Kolosální exces

Kolosálně hojné číslo ( CA z anglického  colossally abundant number ) je přirozené číslo , které má v určitém přísném smyslu mnoho dělitelů : existuje takové , že pro všechny :

kde je funkce součtu dělitelů [1] . Všechna kolosálně nadbytečná čísla jsou také nadbytečná čísla , ale obráceně to neplatí.

Prvních 15 kolosálně nadbytečných čísel [2] - 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440 , 43243210, 960675 216070, 21660, 21665 0765 0765 076 076 076

Historie

Kolosálně přebytečná čísla byla poprvé studována Ramanujanem a jeho výsledky měly být zahrnuty do jeho práce z roku 1915 o supersloženém čísle [3] . Bohužel, vydavatel časopisu, kterému Ramanujan zaslal svou práci, London Mathematical Society , měl v té době finanční potíže a Ramanujan souhlasil s odstraněním některých aspektů práce, aby se snížily náklady na tisk [4] . Jeho závěry byly založeny hlavně na Riemannově hypotéze a s tímto předpokladem našel horní a dolní mez velikosti kolosálně nadbytečných čísel a dokázal, že to, co by se stalo známým jako Robinova nerovnost (viz níže), platí pro všechny dostatečně velké hodnoty. n [5] .

Třída čísel byla revidována v poněkud silnější formě v 1944 papíru Leonidas Alaoglu a Pal Erdős , ve kterém oni pokoušeli se rozšířit Ramanujanovy výsledky [6] .

Vlastnosti

Kolosálně nadbytečná čísla jsou jednou z několika tříd celých čísel, které se pokoušejí zachytit představu, že máme více dělitelů. Pro kladné celé číslo n , součet funkce dělitelů σ( n ) dává součet všech těch čísel, která dělí n , včetně 1 a n samotného . Paul Bachmann ukázal, že v průměru je σ( n ) asi π 2 n / 6 [7] . Grönwallova věta mezitím říká, že maximální řád σ( n ) je o něco větší, konkrétně existuje rostoucí posloupnost celých čísel n , takže pro tato celá čísla je σ ( n ) přibližně stejně velké jako e γ n log (log( n )), kde γ je Euler-Mascheroniho konstanta [7] . Proto kolosálně redundantní čísla zahrnují představu vícenásobných dělitelů tím, že vyžadují, aby pro některé maximalizovaly hodnotu funkce.

pro všechny hodnoty . Výsledky Bachmanna a Grönwalla zaručují, že pro každou má tato funkce maximum a že jak se ε blíží nule, tato maxima se budou zvyšovat. Existuje tedy nekonečně mnoho kolosálně nadbytečných čísel, i když jsou poměrně vzácná, a pouze 22 z nich je menší než 10 18 [8] .

Pro každé ε má výše uvedená funkce maximum, ale není zřejmé a vlastně ani není pravda, že pro každé ε je tato maximální hodnota jedinečná. Alaoglu a Erdős studovali, kolik různých hodnot n může poskytnout stejnou maximální hodnotu výše uvedené funkce pro danou hodnotu ε. Ukázali, že pro většinu hodnot ε bude existovat jediné celé číslo n , které maximalizuje funkci. Později však Erdős a Jean-Louis Nicolas ukázali, že pro určitý soubor diskrétních hodnot ε mohou existovat dvě nebo čtyři různé hodnoty n , které dávají stejnou maximální hodnotu [9] .

Alaoğlu a Erdős ve svém článku z roku 1944 navrhli, že poměr dvou po sobě jdoucích kolosálně nadbytečných čísel byl vždy prvočíslo . Ukázali, že to vyplývá z konkrétního případu čtyř exponenciálních hypotéz v transcendentální teorii čísel , konkrétně z toho, že pro jakákoli dvě odlišná prvočísla p a q jsou kladnými celými čísly pouze reálná čísla t , pro která jsou p t i q t racionálními čísly. . Pomocí odpovídajícího výsledku pro tři prvočísla - speciálního případu šesti exponenciální věty , kterou dokázal K. L. Siegel - byli schopni ukázat, že podíl dvou po sobě jdoucích kolosálně nadbytečných čísel je vždy roven buď prvočíslu, nebo poloprvému číslu , to je číslo skládající se pouze ze dvou prvočísel . Kvocient nikdy nemůže být druhou mocninou prvočísla.

Alaogluova a Erdősova domněnka zůstává otevřená, i když byla testována minimálně do 10 7 [10] Pokud je pravdivá, znamenalo by to, že existuje posloupnost nerozlišitelných prvočísel p 1 , p 2 , p 3 ,... taková, že n - kolosálně nadbytečné číslo mělo tvar:

Za předpokladu, že domněnka je správná, tato sekvence prvočísel začíná 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (sekvence A073751 v OEIS ). Alaoglu a Erdősův dohad by také znamenal, že žádná hodnota ε nedává čtyři různá celá čísla n jako maxima výše uvedené funkce.

Souvislost s Riemannovou hypotézou

V 80. letech Guy Robin ukázal [11] , že Riemannova hypotéza je ekvivalentní tvrzení, že následující nerovnost platí pro všechny > 5040: (kde je Euler-Mascheroniho konstanta ):

Je známo, že tato nerovnost selhává u 27 čísel (sekvence A067698 v OEIS ):

Robin ukázal, že pokud je Riemannova hypotéza pravdivá, pak = 5040 je poslední celé číslo, pro které selhala. Nerovnost je nyní známá jako Robinova nerovnost po jeho práci. Robinova nerovnost, pokud někdy nebyla splněna, je známo, že selhává pro kolosálně nadbytečné číslo "n"; Riemannova hypotéza je tedy v podstatě ekvivalentní Robinově nerovnosti, která platí pro každé kolosálně přebytečné číslo n > 5040.

V letech 2001–2002 Lagarias [8] demonstroval alternativní formu Robinova prohlášení, která nevyžaduje výjimky, a to pomocí harmonického čísla namísto logaritmu :

Nebo, kromě 8 výjimek z n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

Odkazy

1. ↑ K. Briggs, Nadbytečná čísla a Riemannova hypotéza , Experimentální matematika 15:2 (2006), s. 251–256, doi : 10.1080/10586458.2006.10128957 .
2. ↑ OEIS sekvence A004490 _
3. ^ S. Ramanujan , " Superkomponentní čísla ", Proceedings of the London Mathematical Society 14 (1915), s. 347–407, MR : 2280858 .
4. ↑ S. Ramanujan, Collected Papers , Chelsea , 1962.
5. ↑ S. Ramanujan, "Čísla nadsložek. Komentováno předmluvou J.-L. Nicolase a G. Robina", Ramanujan's Journal 1 (1997), s. 119–153.
6. ↑ Alaoglu, L. & Erdős, P. (1944), O supersložkách a podobných číslech , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 56: 448–469, doi : 10.2307/1990319 , < http://www.renyi.hu /~ p_erdos/1944-03.pdf > Archivováno 12. listopadu 2017 na Wayback Machine . 
7. ↑ 1 2 G. Hardy , E. M. Wright, Úvod do teorie čísel. 5. vydání , Ed. Oxfordská univerzita , Oxford , 1979.
8. ↑ 1 2 J. C. Lagarias, Základní problém ekvivalentní Riemannově hypotéze Archivováno 10. října 2014 na Wayback Machine , American Mathematical Monthly 109 (2002), s. 534–543 .
9. ↑ P. Erdős, J.-L. Nicolas, "Distribution of overabundant numbers", Bulletin of the French Mathematical Society 103 (1975), s. 65–90.
10. ↑ N. J. A. Sloan , Prvočísla, která po vynásobení v pořadí dávají posloupnost kolosálně nadbytečných čísel Archivováno 16. dubna 2021 na Wayback Machine , The Online Encyclopedia of Integer Sequences. Nadace OEIS.
11. ↑ G. Robin, "Velké hodnoty funkce dělitelského součtu a Riemannova hypotéza", Journal of Pure and Applied Mathematics 63 (1984), s. 187–213.

Externí odkazy

• Keith Briggs o kolosálně nadbytečných číslech a Riemannově hypotéze
• Úvod do MathWorld
• Poznámky k Riemannově hypotéze a nadbytečným číslům
• Více o Robinově RH formulaci