Superkompozitní číslo

Supersložené číslo je přirozené číslo s více děliteli než jakékoli menší přirozené číslo.

Historie

Termín navrhl Ramanujan v roce 1915. Pierre Cahane o nich však uvažoval již dříve a možná je znal již Platón , který popsal číslo 5040 jako ideální počet občanů města, protože 5040 má více dělitelů než jakékoli menší číslo. [jeden]

Příklady

Tabulka ukazuje prvních 38 superkompozitních čísel (sekvence A002182 v OEIS ).

pokoj, místnost	superkompozit	rozklad do jednoduchého	číslo dělitelé	expanzi do primorials
jeden	jeden		jeden
2	2	$2$	2	$2$
3	čtyři	$2^{2}$	3	$2^{2}$
čtyři	6	$2\cdot 3$	čtyři	$6$
5	12	$2^{2}\cdot 3$	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	osm	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	9	$6^{2}$
osm	48	$2^{4}\cdot 3$	deset	$2^{3}\cdot 6$
9	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	12	$2\cdot 30$
deset	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	16	$2^{2}\cdot 30$
jedenáct	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	osmnáct	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	dvacet	$2^{3}\cdot 30$
13	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	24	$2\cdot 6\cdot 30$
čtrnáct	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	třicet	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
patnáct	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40	$2^{3}\cdot 210$
osmnáct	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
dvacet	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	128	$6^{2}\cdot 2310$
třicet	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$

Rozklad na prvočísla

Na rozkladu supersložených čísel se podílejí nejmenší prvočinitele a zároveň ne příliš mnoho stejných.

Podle základní věty aritmetiky má každé přirozené číslo jedinečný rozklad na prvočísla: $n$

n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1 )

kde prvočísla a mocniny jsou kladná celá čísla. Počet dělitelů čísla lze vyjádřit takto: ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k))$ $c_{i}$ $d(n)$ $n$

d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)

Pro supersložené číslo tedy platí: $n$

Čísla jsou první prvočísla. ${\displaystyle p_{1},p_{2},\tečky ,p_{k))$ $k$
Posloupnost mocnin musí být nerostoucí, tedy . ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k))$
- Tato vlastnost je ekvivalentní tvrzení, že supersložené číslo je součinem primorial .
S výjimkou dvou speciálních případů, n = 4 A N = 36, je poslední mocnina jedna. $c_{k}$

Konkrétně 1, 4 a 36 jsou jediné supersložené čtverce.

Výše popsané podmínky jsou sice nutné, ale nestačí. Například 96 = 2 5 × 3 splňuje všechny výše uvedené podmínky a má 12 dělitelů, ale není superkompozitní, protože existuje menší číslo 60, které má stejný počet dělitelů.

Asymptotický růst a hustota

Existují konstanty a a b obě větší než 1, takže

\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},

Kde označuje počet supersložených čísel menší nebo rovný . $Q(x)$ $X$

První část nerovnosti dokázal Pal Erdős v roce 1944; druhý dokázal Jean-Louis Nicholas v roce 1988.

To je také známo

1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}44

\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}71.

Vlastnosti

Všechna superkompozitní čísla větší než 6 jsou nadbytečná .

Ne všechna supersložená čísla jsou Harshad čísla v základu 10;
- první protipříklad je 245044800 , toto číslo má součet 27 číslic, ale není dělitelné 27.

Viz také

Poznámky

↑ Kahane, Jean-Pierre (únor 2015), Bernoulliho konvoluce a sobě podobná opatření po Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society vol. 62 (2): 136–140 .

Odkazy

Ramanujan, S. Vysoce složená čísla (neopr.) // Proc. Londýnská matematika. soc. (2). - 1915. - T. 14 . - S. 347-409 . - doi : 10.1112/plms/s2_14.1.347 . ( online Archivováno 3. září 2014 na Wayback Machine )
Příručka teorie čísel I (neopr.) . - Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. - S. 45-46. — ISBN 1-4020-4215-9 .
Erdös, P. O vysoce složených číslech (neopr.) // London Mathematical Society . - 1944. - T. 19 . - S. 130-133 . - doi : 10.1112/jlms/19.75_part_3.130 .
Alaoglu, L. O kompozitních vysoce a podobných číslech // Transactions of the American Mathematical Society . - 1944. - Sv. 56 , č. 3 . - str. 448-469 . - doi : 10.2307/1990319 .
Ramanujan, Srinivasa Vysoce složená čísla (anglicky) // Ramanujan Journal : deník. - 1997. - Sv. 1 , ne. 2 . - S. 119-153 . - doi : 10.1023/A:1009764017495 . Komentováno as předmluvou Jean-Louis Nicolas a Guy Robin.

Odkazy

Literatura

O. Ore. Pozvánka k teorii čísel . - M. : Nauka, 1980. - 128 s. — (Vydání 3 série Quantum Library). — 150 000 výtisků.

Čísla podle charakteristik dělitelnosti
Obecná informace	Faktorizace celých čísel Dělitelnost unitární dělitel Funkce děliče prvočíslo Základní teorém aritmetiky Aritmetické číslo
Faktorizační formy	prvočíslo Složené číslo Semiprime obdélníkové číslo Sfénické číslo Číslo bez čtverců Plný násobek Perfektní stupeň Achillovo číslo hladké číslo Běžné číslo hrubé číslo neobvyklé číslo
S omezenými děliteli	dokonalé číslo Poněkud nedostatečná čísla Trochu nadbytečná čísla Multiperfektní číslo Hemiperfektní čísla hyperdokonalé číslo super dokonalé číslo unitární prvočíslo polodokonalé číslo pararytmické číslo Erdős-Nicolasovo číslo
Čísla s mnoha děliteli	Přebytečná čísla Primitivní nadbytečná čísla Vysoce nadbytečná čísla Super redundantní čísla Velmi nadbytečná čísla superkompozitní číslo Vysoce superkompozitní číslo podivné číslo
Souvisí s alikvotními sekvencemi	posvátné číslo přátelská čísla veřejná čísla Kvazi přátelská čísla
jiný	Nedostatek čísel čísla kamarádů sublimovaná čísla Rudná čísla skromné číslo Stejné číslice extravagantní číslo