Čtyřstěnné číslo

Čtyřboká čísla , nazývaná také trojúhelníková pyramidová čísla , jsou obrazná čísla představující pyramidu , na jejíž základně leží pravidelný trojúhelník . Tetraedrické číslo th v pořadí je definováno jako součet prvních trojúhelníkových čísel : $n$ $\Delta _{n}$ $n$

{\displaystyle \Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\tečky +T_{n))

Začátek posloupnosti čtyřstěnných čísel:

1, 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … ( sekvence OEIS A000292 ).

Vzorec

Obecný vzorec pro tetraedrické číslo je: $n$

\Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6)).

Vzorec lze také vyjádřit pomocí binomických koeficientů :

\Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3)).

Vlastnosti

Čtyřboká čísla jsou na 4. pozici každého řádku v Pascalově trojúhelníku .

Pouze tři čtyřstěnná čísla jsou čtvercová čísla :

\Delta _{1}=1^{2}=1

\Delta _{2}=2^{2}=4

\Delta _{48}=140^{2}=19600

Pět čtyřstěnných čísel je současně trojúhelníkových (sekvence A027568 v OEIS ):

\Delta _{1}=T_{1}=1

\Delta _{3}=T_{4}=10

\Delta _{6}=T_{15}=120

\Delta _{20}=T_{55}=1540

\Delta _{34}=T_{119}=7140

Jediné pyramidové číslo , které je zároveň čtvercové i kubické , je číslo 1.

Je vidět, že:

{\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4))

Řada reciprokých čtyřstěnných čísel je teleskopická , a proto konverguje:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n))}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6 }{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.

Jeden z Pollockových „dohadů “ (1850): každé přirozené číslo může být reprezentováno jako součet nejvýše pěti čtyřstěnných čísel. Dosud to nebylo prokázáno, i když to bylo testováno pro všechna čísla menší než 10 miliard [1] [2] .

Vícerozměrné zobecnění

Trojrozměrná čtyřstěnná čísla lze zobecnit na čtyři nebo více rozměrů, podobně jako při přechodu od trojúhelníkových čísel k čtyřstěnným. Analogem čtyřstěnných čísel v -rozměrném prostoru jsou „ simplexní čísla“, nazývaná také hypertetraedrická [3] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!))={\frac {\prod _{k= 0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.

Jejich speciální případy jsou:

$S_{n}^{[2]}$ jsou trojúhelníková čísla .
$S_{n}^{[3]}$ jsou čtyřstěnná čísla .
$S_{n}^{[4]}$ jsou pentatopová čísla .

Poznámky

↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 239.
↑ Frederick Pollock. Na rozšíření principu Fermatovy věty o polygonálních číslech konečných na vyšší řád řad, jejichž rozdíly jsou konstantní. S navrženou novou větou použitelnou na všechny objednávky // Abstracts of the Papers Communicated to Royal Society of London: journal. - 1850. - Sv. 5 . - S. 922-924 . — .
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 126-134.

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Za stránkami učebnice matematiky: Aritmetika. Algebra. Geometrie . - M . : Vzdělávání, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Historie matematiky ve škole . - M . : Vzdělávání, 1964. - 376 s.
Deza E., Deza M. Kudrnatá čísla. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Odkazy

složená čísla
Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Geometrický důkaz vzorce čtyřstěnných čísel od Jima Delanyho, The Wolfram Demonstrations Project .
O vztahu mezi dvojitými sumacemi a čtyřstěnnými čísly od Marca Ripa

složená čísla

byt

Klasický polygonální	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Dvanáctiúhelníkový
Na střed	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Devítiúhlý Dekagonální

Pyramidový	čtyřstěnný Čtvercový pyramidální
mnohostranný	krychlový Oktaedrální Dodekaedrální dvacetistěnný Hvězdicovitý oktaedrický

mnohostranný	Pentatopický Bisquare