Celé číslo

Jak je definováno výše, číslo je dělitelné (celé číslo) číslem , pokud existuje celé číslo takové, že . Symbolický zápis: . Existuje několik ekvivalentních slovních formulací této dělitelnosti [12] :

• je dělitelné (celé číslo) .
• je dělitel (nebo: dělí ).
• vícenásobný .

Každé celé číslo , které se nerovná nule nebo má 4 triviální dělitele: . Nejsou-li další dělitelé, nazývá se číslo prvočíslo [13] .

Pojem největšího společného dělitele dvou celých čísel, rozklad celého čísla na prvočísla a hlavní aritmetický teorém pro celá čísla se prakticky shodují (s možným zohledněním znaménka) s analogy těchto pojmů pro přirozená čísla [14] .

Celá a reálná čísla

Existují praktické problémy, ve kterých je nutné zaokrouhlit skutečnou hodnotu na celé číslo, to znamená nahradit ji nejbližším (v jednom nebo druhém směru) celým číslem. Protože zaokrouhlení lze provést mnoha způsoby, lze pro objasnění použít „ Iversonovy symboly “ [15] :

V závislosti na specifikách příkazu problému se lze setkat i s jinými metodami: zaokrouhlením na nejbližší celé číslo nebo odříznutím zlomkové části (poslední možnost pro záporné části se liší od funkce „celočíselná část“).

Další třídou problémů týkajících se celých a reálných čísel je aproximace reálného čísla poměrem celých čísel, tedy racionálním číslem . Je dokázáno, že jakékoli reálné číslo lze racionálně aproximovat s libovolnou přesností, nejlepším nástrojem pro takovou aproximaci jsou pokračující (pokračované) zlomky [16] .

Historie

Rozvoj matematiky začal praktickými dovednostmi počítání (jedna, dva, tři, čtyři ...), proto přirozená čísla vznikala v pravěku jako idealizace konečné množiny homogenních, stabilních a nedělitelných předmětů (lidí, ovcí, dny atd.). Sčítání se jevilo jako matematický model tak důležitých událostí, jako je spojení několika množin (stáda, pytle atd.) do jedné, a odečítání naopak odráželo oddělení části množiny. Násobení pro přirozená čísla se objevilo jako takříkajíc dávkové sčítání: 3 × 4 znamenalo součet „ 3 krát 4“, tedy 4 + 4 + 4 . Vlastnosti a provázanost operací byly objevovány postupně [17] [18] .

Počátečním krokem k rozšíření přirozených čísel byl výskyt nuly; první, kdo tento symbol použil, byli zřejmě indičtí matematici. Zpočátku se nula nepoužívala jako číslo, ale jako číslice v pozičním zápisu čísel, postupně se začala uznávat jako plnohodnotné číslo, označující nepřítomnost něčeho (například úplná zkáza obchodníka ) [19] .

Záporná čísla byla poprvé použita ve starověké Číně a v Indii, kde byla považována za matematický obraz „dluhu“. Starověký Egypt , Babylon a starověké Řecko nepoužívaly záporná čísla, a pokud byly získány záporné kořeny rovnic (při odečtení), byly zamítnuty jako nemožné. Výjimkou byl Diophantus , který již ve 3. století znal „pravidlo znamení“ a uměl násobit záporná čísla. Považoval je však pouze za mezistupeň, užitečný pro výpočet konečného, ​​pozitivního výsledku. Užitečnost a zákonnost záporných čísel byla stanovena postupně. Již indický matematik Brahmagupta (7. století) je považoval za srovnatelné s kladnými [20] .

V Evropě došlo k uznání o tisíc let později a i tehdy byla záporná čísla po dlouhou dobu nazývána „falešnými“, „imaginárními“ nebo „absurdními“. První jejich popis v evropské literatuře se objevil v knize Abacus od Leonarda z Pisy (1202), který také považoval záporná čísla za dluh. Bombelli a Girard ve svých spisech považovali záporná čísla za docela přijatelná a užitečná, zejména k označení nedostatku něčeho. Záporná čísla volně používali Nicola Schücke (1484) a Michael Stiefel (1544) [20] .

V 17. století, s příchodem analytické geometrie , záporná čísla přijala vizuální geometrickou reprezentaci na číselné ose . Od tohoto okamžiku přichází jejich úplná rovnost. Legalizace záporných čísel vedla k četným vymoženostem – například převod členů rovnice do jiné její části se stal možným bez ohledu na znaménko tohoto členu (dříve byly rovnice považovány za zásadně odlišné) [21] .

Přesto byla teorie záporných čísel dlouhou dobu v plenkách. Pascal , například, věřil, že protože “nic nemůže být méně než nic” [22] . Živě se diskutovalo o podivném poměru  - v něm je první termín vlevo větší než druhý a vpravo naopak a ukazuje se, že větší se rovná menšímu („ Arnův paradox “). Wallis věřil, že záporná čísla jsou menší než nula, ale zároveň více než nekonečno [23] . Také nebylo jasné, jaký význam má násobení záporných čísel a proč je součin záporných čísel kladný; na toto téma se vedly bouřlivé diskuse. Ohlasem té doby je skutečnost, že v moderní aritmetice se operace odčítání a znaménko záporných čísel označují stejným symbolem ( minus ), i když algebraicky jde o zcela odlišné pojmy. Gauss v roce 1831 považoval za nutné objasnit, že záporná čísla mají v zásadě stejná práva jako kladná, a to, že se nevztahují na všechny věci, nic neznamená, protože zlomky také neplatí pro všechny věci (např. nejsou použitelné při počítání osob) [24] .

Úplná a docela rigorózní teorie záporných čísel byla vytvořena až v 19. století ( William Hamilton a Hermann Günter Grassmann ) [25] .

Aplikace

V aplikovaných vědách

Celá čísla jsou široce používána při studiu objektů, které jsou nedělitelné svou povahou nebo zvláštnostmi zadání problému (například lidé, lodě, budovy, někdy dny atd.). V takových modelech lze použít i záporná čísla – například při plánování prodejních transakcí můžete prodeje označit kladnými čísly a nákupy zápornými. Příkladem z fyziky jsou kvantová čísla , která hrají zásadní roli v mikrokosmu; všechna jsou celá čísla se znaménkem (nebo poloviční celá čísla ) [26] .

K řešení problémů vzniklých v tomto případě byly vyvinuty speciální matematické metody, které berou v úvahu specifika problémů. Zejména řešení v celých číslech algebraických rovnic (různých stupňů) je zvažováno teorií „ diofantických rovnic “ [27] . Problémy celočíselné optimalizace jsou zkoumány celočíselným programováním [28] .

V informatice

Typ integer  je často jedním z hlavních datových typů v programovacích jazycích . Integer datové typy jsou obvykle implementovány jako pevná sada bitů , z nichž jeden kóduje znaménko čísla, zatímco ostatní kódují binární číslice. Moderní počítače mají bohatou instrukční sadu pro celočíselnou aritmetiku [29] .

Místo v obecné algebře

Z hlediska obecné algebry je s ohledem na sčítání a násobení nekonečný komutativní okruh s jednotou, bez nulových dělitelů ( obor integrity ). Kruh celých čísel je euklidovský (a tedy faktoriál ) a noetherovský , ale ne artinovský . Pokud tento kruh rozšíříte přidáním všech druhů zlomků (viz pole kvocientů ), dostanete pole racionálních čísel ( ); jakékoli dělení je v něm již proveditelné, kromě dělení nulou [30] [31] .

S ohledem na operaci sčítání je abelovská grupa , a tedy také cyklická grupa , protože každý nenulový prvek lze zapsat jako konečný součet 1 + 1 + ... + 1 nebo (−1) + (−1 ) + ... + (−1 ) . Ve skutečnosti je jedinou nekonečnou cyklickou skupinou přidáním, protože každá nekonečná cyklická skupina je izomorfní ke skupině . S ohledem na násobení netvoří grupu, protože v množině celých čísel je obecně dělení nemožné [30] .

Množina celých čísel s obvyklým pořadím je uspořádaný kruh , ale není dobře uspořádaná , protože například mezi zápornými čísly neexistuje nejmenší. Lze to však udělat docela uspořádané definováním nestandardního vztahu „menší nebo rovno“ [32] , který označujeme a definujeme následovně:

Potom bude pořadí celých čísel: Zejména bude nejmenší záporné číslo. s novou objednávkou to bude dobře uspořádaná sada, ale už to nebude objednaný prsten, protože toto pořadí není v souladu s operacemi prstenu: například od , přidání 1 doleva a doprava, dostaneme špatnou nerovnost

Jakýkoli uspořádaný kruh s identitou a bez nulových dělitelů obsahuje pouze jeden izomorfní podkruh [33] .

Logické základy

Rozšíření přirozených čísel na celá čísla, stejně jako jakékoli jiné rozšíření algebraické struktury, vyvolává mnoho otázek, z nichž hlavní jsou, jak definovat operace s novým typem čísel (například jak definovat násobení záporných čísel), jaké vlastnosti pak budou mít, a (hlavní otázka), zda je takové rozšíření přípustné, zda nepovede k neodstranitelným rozporům. K analýze takových otázek je nutné vytvořit sadu axiomů pro celá čísla.

Axiomatika celých čísel

Nejjednodušší způsob, jak určit axiomatiku množiny celých čísel, je spoléhat se na již sestrojenou množinu přirozených čísel (o které se předpokládá, že je konzistentní a její vlastnosti jsou známé). Konkrétně definujeme jako minimální kruh obsahující množinu přirozených čísel. Přesněji řečeno, axiomy celých čísel jsou následující [34] [35] .

Všechny ostatní vlastnosti celých čísel vyplývají z těchto axiomů, včetně komutativnosti násobení, uspořádanosti, pravidel pro dělení celým číslem a dělení se zbytkem [36] . Ukažme si například, jak je zavedeno pořadí celých čísel . Řekneme, že pokud existuje přirozené číslo. Axiomy řádu lze snadno ověřit. Z definice okamžitě vyplývá, že všechna přirozená čísla jsou větší než nula ( kladná ), a všechny jejich protiklady jsou menší než nula ( záporná ). U přirozených čísel se nový řád shoduje se starým [37] .

Daná axiomatika celých čísel je kategorická , to znamená, že kterýkoli z jejích modelů je izomorfní jako kruhy [38] .

Konzistence

Standardním způsobem, jak dokázat konzistenci nové struktury, je modelovat ( interpretovat ) její axiomy pomocí objektů jiné struktury, o jejíž konzistenci nelze pochybovat. V našem případě musíme tyto axiomy implementovat na základě dvojic přirozených čísel [39] .

Zvažte všechny možné uspořádané dvojice přirozených čísel . Abychom objasnili význam následujících definic, okamžitě vysvětlíme, že každý takový pár hodláme dále považovat za celé číslo , například páry nebo budou představovat jednotku a páry nebo budou představovat

Dále definujte [40] :

1. Páry a jsou považovány za rovnocenné, jestliže . Je to proto, jak je ukázáno v příkladech, jakékoli celé číslo může být reprezentováno nekonečným počtem párů.
2. Sčítání : součet párů a je definován jako pár .
3. Násobení : Součin párů a je definován jako pár .

Je snadné zkontrolovat, že se výsledky sčítání a násobení nezmění, pokud jakoukoli dvojici nahradíme stejnou, to znamená, že nová výsledná dvojice bude stejná jako předchozí (ve smyslu rovnosti naznačené definicí 1) . Je také snadné ověřit, že popsaná struktura párů vyhovuje celému seznamu axiomů celých čísel. Kladná čísla jsou modelována pomocí dvojic , kde , nula představuje dvojice tvaru a dvojice s odpovídají záporným číslům [40] .

Tento model umožňuje objasnit, jak axiomy celých čísel jednoznačně implikují jejich vlastnosti; ukažme si to na "pravidle znamení". Například vynásobením dvou "záporných čísel" a , pro které , podle definice dostaneme pár . Rozdíl je , toto číslo je kladné, takže párový součin představuje kladné celé číslo, proto je součin záporných čísel kladný. Jakékoli jiné pravidlo (řekněme „součin záporných čísel je záporný“) by učinilo teorii celých čísel nekonzistentní.

Popsaný model dokazuje, že daná axiomatika celých čísel je konzistentní. Protože pokud by v tom byl rozpor, pak by to znamenalo rozpor v základní aritmetice přirozených čísel pro tento model, o kterém jsme předem předpokládali, že je konzistentní [39] .

Mohutnost souboru

Množina celých čísel je nekonečná. Ačkoli jsou přirozená čísla pouze podmnožinou množiny celých čísel, existuje tolik celých čísel, kolik je přirozených čísel, v tom smyslu, že mohutnost množiny celých čísel je stejná jako mohutnost množiny přirozených čísel – obou. jsou spočítatelné [41] .

Variace a zobecnění

Některé algebraické struktury jsou podobné ve vlastnostech kruhu celých čísel . Mezi nimi:

• Gaussova celá čísla . Jedná se o komplexní čísla , kde  jsou celá čísla. Pro Gaussova čísla, stejně jako pro obyčejná celá čísla, lze definovat pojmy dělitelů , prvočísla a modulo . Platí analogie hlavní věty aritmetiky [42] .
• Eisensteinova celá čísla [43] .

Poznámky

1. ↑ To se týká nejstaršího chápání přirozených čísel s prvním prvkem:
2. ↑ 1 2 3 Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 111-113.
3. ↑ Elementární matematika z vyššího hlediska, 1987 , str. 37.
4. ↑ Paul Pollack. Nejstarší použití symbolů teorie čísel (odkaz nepřístupný) . Získáno 22. října 2017. Archivováno z originálu 31. ledna 2010. (neurčitý) 
5. ↑ Elementární matematika, 1976 , s. osmnáct.
6. ↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 114.
7. ↑ 1 2 3 4 Elementární matematika, 1976 , s. 24-28.
8. ↑ 1 2 Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu, 1987 , str. 39.
9. ↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 114-115.
10. ↑ 1 2 Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 172-173.
11. ↑ 1 2 Division // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1979. - T. 2.
12. ↑ Sushkevich A. K. Teorie čísel. Základní kurz. - Kh .: Nakladatelství Charkovské univerzity, 1954. - S. 5.
13. ↑ Elementární matematika, 1976 , s. dvacet.
14. ↑ Koncept dělitelnosti // Prvky teorie dělitelnosti: Metodická doporučení pro studenty Pedagogické fakulty a psychologie dětství / komp. S. V. Pomorceva, O. V. Ivanova. - Omsk: Omský stát. ped. univerzita, 2008. - 37 s.
15. ↑ Knut D. Umění počítačového programování. T. 1. Základní algoritmy. - M .: Mir , 1976. - S. 68. - 735 s.
16. ↑ Khinchin A. Ya. Pokračující zlomky . — M .: GIFML, 1960.
17. ↑ Mach E. Poznání a klam // Albert Einstein a teorie gravitace. - M. : Mir, 1979. - S. 74 (poznámka pod čarou). — 592 s. : "než vyvstane pojem čísla, musí existovat zkušenost, že v určitém smyslu existují předměty stejné hodnoty mnohonásobné a neměnné ."
18. ↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty . - M .: Mir, 1984. - S.  109 -112. — 446 s.
19. ↑ Lamberto Garcia del Cid. Zvláštní čísla jiných kultur // Pozoruhodná čísla. Nula, 666 a další bestie. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 s. — (Svět matematiky). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
20. ↑ 1 2 Glazer G. I. Dějiny matematiky ve škole. - M . : Vzdělávání, 1964. - S. 132-135. — 376 s.
21. ↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 113-114.
22. ↑ Sukhotin A. K. Peripetie vědeckých myšlenek. M.: Mol. hlídat. 1991, strana 34.
23. ↑ Panov V.F. Záporná čísla // Starověká a mladá matematika. - Ed. 2., opraveno. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 399. - 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
24. ↑ Alexandrova N.V. Matematické termíny. (Příručka). Moskva: Vyšší škola, 1978, s. 164.
25. ↑ Matematika 18. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1972. - T. III. - S. 48-49.
26. ↑ Sivukhin D. V. § 38. Čtyři kvantová čísla elektronu a jemná struktura spektrálních členů // Obecný kurs fyziky. - M. , 2005. - T. V. Atomová a jaderná fyzika. - S. 226.
27. ↑ Gelfond A. O. Řešení rovnic v celých číslech . - M . : Nauka, 1978. - ( Populární přednášky o matematice ).
28. ↑ Karmanov V. G. Matematické programování. — M .: Nauka , 1986. — 288 s.
29. ↑ M. Ben-Ari. Kapitola 4. Základní datové typy // Programovací jazyky. Praktické srovnávání = porozumění programovacímu jazyku. - M .: Mir, 2000. - S.  53 -74. — 366 s. — ISBN 5-03-003314-9 .
30. ↑ 1 2 Vinberg E. B. Kurz algebry. 2. vyd. - M. : Nakladatelství MTSNMO, 2013. - S. 15-16, 113-114. — 590 str. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
31. ↑ Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - M. : Mir, 1972. - S. 94. - 160 s.
32. ↑ Donald Knuth . Umění programování, svazek I. Základní algoritmy. - M .: Mir , 1976. - S. 571 (15b). — 736 s.
33. ↑ Numerické soustavy, 1975 , s. 100.
34. ↑ Numerické soustavy, 1975 , s. 95-96.
35. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 160-162.
36. ↑ Numerické soustavy, 1975 , s. 96-98.
37. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , s. 170-171.
38. ↑ Numerické soustavy, 1975 , s. 98.
39. ↑ 1 2 Číselné soustavy, 1975 , str. 100-102.
40. ↑ 1 2 Encyklopedie elementární matematiky, 1951 , str. 162-168.
41. ↑ N. Ya. Vilenkin . Nastavit příběhy . - 3. vyd. - M.  : MTSNMO , 2005. - S. 65-66. — 150 s. — ISBN 5-94057-036-4 .
42. ↑ Okunev L. Ya. Komplexní celá čísla. - M .: Stát. uch.-ped. Nakladatelství Lidového komisariátu školství RSFSR, 1941. - 56 s.
43. ↑ Eric W. Weisstein. Ejzenštejnské celé číslo . Staženo: 19. srpna 2017. (neurčitý)

Literatura

• Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . — M .: Nauka, 1978.
  • Reedice: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 stran.
• Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
• Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu. - M .: Nauka, 1987. - T.I. Aritmetika. Algebra. Analýza. — 432 s.
• Nechaev V. I. Numerické soustavy. - M . : Vzdělávání, 1975. - 199 s.
• Encyklopedie elementární matematiky (v 5 svazcích). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká dánština Velká Katalánština Velká Katalánština Skvělý norský Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4134668-3 NDL : 00570428 NKC : ph135364