Fuzzy množina

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. září 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Fuzzy množina (někdy fuzzy [1] , foggy [2] , fluffy [3] ) je pojem, který představil Lotfi Zadeh v roce 1965 v článku "Fuzzy Sets" v časopise Information and Control [4] , v který rozšířil klasický koncept množiny za předpokladu, že charakteristická funkce množiny (zadem nazývaná funkce příslušnosti pro fuzzy množinu) může nabývat libovolných hodnot v intervalu , nejen hodnot nebo . Je to základní koncept fuzzy logiky . $[0, 1]$ $0$ $jeden$

Zastaralý název: vágní sada [5] [6] ,

Definice

Fuzzy množina je množina uspořádaných dvojic složených z prvků univerzální množiny a odpovídajících stupňů příslušnosti : $A$ $X$ $X$ $\mu _{A} (x)$

A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}

navíc , je funkce příslušnosti (zobecnění konceptu charakteristické funkce běžných crisp množin), udávající, do jaké míry (míry) prvek patří do fuzzy množiny . Funkce nabývá hodnot v nějaké lineárně uspořádané množině . Sada se nazývá sada příslušenství , často se jako segment volí segment . Jestliže (to znamená, že se skládá pouze ze dvou prvků), pak lze fuzzy množinu považovat za běžnou crisp množinu. $\mu _{A} (x)$ $X$ $A$ $\mu _{A}(x)\$ $M$ $M$ $M$ $[0, 1]$ $M=\{0,1\}\$

Základní definice

Nechte si fuzzy sadu s prvky z univerzální sady a sadu doplňků . Pak: $A$ $X\$ $M=[0,1]$

nosič ( podpora ) fuzzy množiny je množina ; $\operatorname {supp} A$ $\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}$
hodnota se nazývá výška fuzzy množiny . Fuzzy množina je normální , pokud její výška je . Pokud je výška striktně menší než , fuzzy množina se nazývá subnormální ; $\sup _{{x\in X}}\mu _{A}(x)$ $A\$ $A\$ $jeden\$ $jeden\$
fuzzy množina je prázdná, jestliže . Neprázdná subnormální fuzzy množina může být normalizována vzorcem $\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0$ $\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)))$ ;
fuzzy množina je unimodální , pokud je pouze na jednom z ; $\mu _{A}(x)=1\$ $X\$ $X\$
prvky , pro které se nazývají přechodové body fuzzy množiny . $x\in X$ $\mu _{A}(x)=0{,}5$ $A\$

Porovnání fuzzy množin

Nechť a být fuzzy množiny definované na univerzální množině . $A$ $B$ $X$

$A$ je obsaženo v , pokud pro kterýkoli prvek z funkce jeho členství v množině bude mít hodnotu menší nebo rovnou funkci členství v množině : $B$ $X$ $A$ $B$ $A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ .
Pokud podmínka není splněna pro všechny , pak mluvíme o míře zahrnutí fuzzy množiny do , která je definována následovně: $\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ $x\in X$ $A$ $B$ $l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$ , kde . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\))$
O dvou množinách se říká, že jsou si rovny , pokud jsou obsaženy jedna v druhé: $A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$ .
Pokud hodnoty členství fungují a jsou si navzájem téměř rovné, mluví se o stupni rovnosti fuzzy množin a např. ve tvaru $\mu _{A} (x)$ $\mu _{B}(x)$ $A$ $B$ $E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|$ , kde . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\))$

Vlastnosti fuzzy množin

$\alpha$ -slice of fuzzy set , označená jako , je následující jasná množina: $A\subseteq X$ $A_{\alpha}$

{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \))

tj. množina definovaná následující charakteristickou funkcí (členská funkce):

\chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{matrix}}\vpravo.

Pro -slice fuzzy množiny platí následující implikace: $\alpha$

\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}

Fuzzy množina je konvexní právě tehdy, když je splněna následující podmínka: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{ A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

pro jakékoli a . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

Fuzzy množina je konkávní právě tehdy, když je splněna následující podmínka: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{ A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

pro jakékoli a . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \in [0,1]$

Operace na fuzzy množinách

S mnoha doplňky $M=[0,1]\$

Průnik fuzzy množin je fuzzy podmnožina s funkcí příslušnosti, která je minimem funkcí příslušnosti a : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Součin fuzzy množin je fuzzy podmnožina s funkcí příslušnosti: $A$ $B$ $\mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ .
Sjednocení fuzzy množin je fuzzy podmnožina s funkcí příslušnosti, která je maximem funkcí příslušnosti a : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Součet fuzzy množin je fuzzy podmnožina s funkcí příslušnosti: $A$ $B$ $\mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B }(X)$ .
Negací množiny je množina s funkcí členství: $A\$ $\overline A$ $\mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$ pro všechny . $x\in X$

Alternativní reprezentace operací na fuzzy množinách

Přejezd

Obecně je operace průniku fuzzy množin definována takto:

\mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

kde funkcí je tzv. T-norma . Níže jsou uvedeny konkrétní příklady implementace T-normy : $T$

$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$
${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1 ,\end{matrix}}\right.$
$\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{ B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}$ , pro $p\geqslant 1$

Konsolidace

V obecném případě je operace kombinování fuzzy množin definována takto:

\mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

kde funkce je T-konormou . Níže jsou uvedeny konkrétní příklady implementace S-normy : $S$

$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B }(X)$
${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\))$
$\mu _{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0 \end{matrix}}\right.$
$\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x) ]^{1 \over p}\}$ , pro $p\geqslant 1$

Souvislost s teorií pravděpodobnosti

Teorie fuzzy množin je v určitém smyslu redukována na teorii náhodných množin a tedy na teorii pravděpodobnosti . Hlavní myšlenkou je, že hodnotu funkce příslušnosti lze považovat za pravděpodobnost, že prvek je pokryt nějakou náhodnou množinou . $\mu _{A}(x)\$ $X\$ $B\$

V praktické aplikaci se však aparát teorie fuzzy množin obvykle používá samostatně a působí jako konkurent aparátu teorie pravděpodobnosti a aplikované statistiky . Například v teorii řízení existuje směr, ve kterém se místo metod teorie pravděpodobnosti používají fuzzy množiny (fuzzy regulátory) k syntéze expertních regulátorů .

Příklady

Nechat:

hodně $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$
mnoho doplňků $M=[0,1]$
$A$ a jsou dvě fuzzy podmnožiny $B$ $X$
- $A=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1 )\}$
- $B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2 )\}$

Výsledky hlavních operací:

průsečík: ${A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}$
sdružení: ${A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{ 4}\mid 1)\}={A}$

Poznámky

↑ Bulletin Akademie věd Gruzínské SSR . - Akademie, 1974. - S. 157. - 786 s. Archivováno 4. dubna 2017 na Wayback Machine
↑ Kozlová Natalja Nikolajevna. Barevný obraz světa v jazyce // Uchenye zapiski Zabaikal'skogo gosudarstvennogo universiteta. Řada: Filologie, historie, orientalistika. - 2010. - Vydání. 3 . — ISSN 2308-8753 . Archivováno z originálu 4. dubna 2017.
↑ Chemie a život, XXI. století . - Společnost "Chemie a život", 2008. - S. 37. - 472 s. Archivováno 4. dubna 2017 na Wayback Machine
↑ Lotfi A. Zadeh Základy nového přístupu k analýze komplexních systémů a rozhodovacích procesů (z angličtiny přeložili V. A. Gorelik, S. A. Orlovský, N. I. Ringo) // Mathematics Today. - M., Poznání, 1974. - Str. 5-48
↑ Leonenkov A. V. Fuzzy modelování v prostředí MATLAB a fuzzyTECH. Petrohrad: BKhV�Peterbur, 2005. 736 s.: nemocný. ISBN 5.94157.087.2
↑ A.M. Širokov. Základy teorie akvizice . - Věda a technika, 1987. - S. 66. - 190 s. Archivováno 18. dubna 2021 na Wayback Machine

Literatura

Zadeh L. Koncept jazykové proměnné a její aplikace při přibližném rozhodování. - M .: Mir, 1976. - 166 s.
Orlov AI Optimalizační problémy a fuzzy proměnné . - M .: Vědomosti, 1980. - 64 s.
Kofman A. Úvod do teorie fuzzy množin. - M . : Rozhlas a komunikace, 1982. - 432 s.
Fuzzy množiny a teorie možností: Nedávné pokroky / R. R. Yager. - M .: Rádio a komunikace, 1986.
Zadeh LA Fuzzy sety // Information and Control. - 1965. - T. 8 , č. 3 . - S. 338-353.
Orlovsky SA Rozhodovací problémy s fuzzy počáteční informací. — M .: Nauka, 1981. — 208 s. - 7600 výtisků.
Orlov A. I. , Lutsenko E. V. Systémová fuzzy intervalová matematika. — Monografie (vědecké vydání). - Krasnodar, KubGAU. 2014. - 600 s. [jeden]