Nilvarieta

Nilmanifold je hladká varieta mající tranzitivní nilpotentní skupinu difeomorfismů působících na tuto varietu. Nilmanifold je příkladem homogenního prostoru a je difeomorfní ke kvocientovému prostoru , kvocientové grupě nilpotentní Lieovy grupy N uzavřenou podgrupou H. Termín zavedl Anatolij I. Malcev v roce 1951.

V Riemannově kategorii existuje také vyčerpávající definice nil-variety. Riemannovská varieta se nazývá homogenní nilmanifold , pokud existuje nilpotentní skupina izometrií, které na ni působí přechodně. Požadavek, aby tranzitivní nilpotentní grupa jednala pomocí izometrií, vede k následující charakterizaci: jakákoliv homogenní nilvarieta je izometrická k nilpotentní Lieově grupě s levou invariantní metrikou (viz Wilsonův článek [1] ).

Nilmanifoldy jsou důležité geometrické objekty a často se objevují v konkrétních příkladech se specifickými vlastnostmi. V Riemannově geometrii mají tyto prostory vždy smíšené zakřivení [2] , téměř ploché manifoldy vznikají jako podílové prostory nilmanifoldů [3] a kompaktní nilmanifoldy byly použity ke konstrukci elementárních příkladů kolapsu Riemannovy metriky v Ricciho tocích [4] .

Kromě jejich důležité role v geometrii nilmanifoldu o ně roste zájem jako o jejich roli v aritmetické kombinatorice (viz článek Greena a Taa [5] ) a ergodické teorii (viz např. článek od Host and Cra [6] ).

Kompaktní nilmanifoldy

Kompaktní nilmanifold je nilmanifold, který je kompaktní. Jedním ze způsobů, jak zkonstruovat takové prostory, je uvažovat jednoduše spojenou nilpotentní Lieovu grupu N a diskrétní podgrupu . Jestliže podskupina působí kokompaktně (přes násobení vpravo) na N , pak varieta kvocientu je kompaktní nilvarieta. Jak ukázal Maltsev, tímto způsobem lze získat jakýkoli kompaktní nilmanifold [7] .

Podskupina , jako je výše, se v N nazývá mřížka . Nilpotentní Lieova grupa připouští mříž pouze tehdy, pokud její Lieova algebra připouští bázi s racionálními strukturními konstantami — to je Maltsevovo kritérium. Ne všechny nilpotentní Lieovy grupy připouštějí mřížky. Podrobnosti viz článek M. S. Raunathana [8] .

Kompaktní Riemannovská varieta je kompaktní Riemannovská varieta, která je lokálně izometrická k nilpotentní Lieově grupě levou invariantní metrikou. Tyto prostory jsou konstruovány následujícím způsobem. Nechť je mříž v jednoduše spojené nilpotentní Lieově grupě N , jak je uvedeno výše. N vybavíme levou invariantní (Riemannovou) metrikou. Potom podgrupa působí pomocí izometrií na N pomocí násobení vlevo. Potom je kvocientový prostor kompaktní prostor lokálně izometrický k N . Všimněte si, že tento prostor je přirozeně difeomorfní .

Kompaktní nilmanifoldy také vznikají jako hlavní svazek . Uvažujme například 2-krokovou nilpotentní Lieovu grupu N , která připouští mřížku (viz výše). Nechť je komutátor podgrupy N . Označme p rozměr komutátoru Z a q korozměr Z , to znamená, že rozměr N je roven p+q. Je známo (viz Raghunathanův článek), že je to mřížka v Z . Jedná se tedy o p - rozměrný kompaktní torus. Protože Z je centrální v N , skupina G působí na kompaktní nilmanifold s podílovým prostorem . Toto základní potrubí M je q - rozměrný kompaktní torus. Bylo ukázáno, že jakýkoli hlavní svazek tori nad torusem má tuto podobu, viz článek Police a Stewarta [9] . Obecněji řečeno, kompaktní nilmanifold je svazek tori nad svazkem tori nad svazkem tori ... nad torusem.

Jak bylo uvedeno výše, téměř ploché odrůdy jsou v podstatě kompaktní nil-manifoldy. Další informace naleznete v souvisejícím článku.

Komplexní nilmanifoldy

Historicky komplexní nilmanifold znamená podíl komplexní nilpotentní Lieovy grupy kokompaktní mřížkou . Příkladem takové nulové odrůdy je odrůda Iwasawa . Od 80. let 20. století tento pojem postupně vytlačil jiný (obecnější) pojem komplexní nilmanifold.

Téměř složitá struktura na skutečné Lieově algebře g je endomorfismus, jehož druhá mocnina je −Id g . Tento operátor se nazývá komplexní struktura , pokud jeho vlastní prostory odpovídající vlastním číslům jsou podalgebry v . V tomto případě definuji levo-invariantní komplexní strukturu na odpovídající Lieově grupě. Taková varieta ( G , I ) se nazývá komplexní skupinová varieta . Tímto způsobem se tedy získá jakákoliv spojená komplexní homogenní varieta vybavená volným tranzitivním holomorfním působením na skutečnou Lieovu grupu.

Nechť G je skutečná nilpotentní Lieova grupa. Komplexní nilmanifold je mnohočetný faktor komplexní grupy ( G , I ) obdařený levo-invariantní komplexní strukturou pravočinnou diskrétní kokompaktní mřížkou.

Komplexní nilmanifoldy obvykle nejsou homogenní jako komplexní manifoldy.

V komplexní dimenzi 2 jsou jedinými komplexními nilmanifoldy komplexní torus a povrch Kodaira [10] .

Vlastnosti

Kompaktní nilmanifoldy (s výjimkou torusu) nejsou nikdy formální [11] [12] . Z toho okamžitě vyplývá, že kompaktní nilmanifoldy (s výjimkou torusu) nepřipouštějí Kählerovu strukturu (viz také článek Bensona a Gordona [13] ).

Topologicky lze všechny nilmanifoldy získat jako iterované svazky tori přes torus. To je dobře vidět z klesající středové řady [14] .

Příklady

Nilpotentní lži skupiny

Z výše uvedené definice pro homogenní nilvarietu je jasné, že jakákoli nilpotentní Lieova grupa s levou invariantní metrikou je homogenní nilvarita. Nejznámější nilpotentní Lieovy grupy jsou maticové grupy, jejichž diagonální prvky jsou rovné 1 a všechny subdiagonální prvky jsou nulové.

Například Heisenbergova skupina je 2-kroková nilpotentní Lieova skupina. Tato nilpotentní Lieova grupa je také speciální, protože umožňuje kompaktní kvocient. Skupinou mohou být horní trojúhelníkové matice s celočíselnými prvky. Výsledný nilmanifold je trojrozměrný. Jedna možná základní doména je (izomorfní k) [0,1] 3 se správně identifikovanými tvářemi. Je to proto, že prvek nilvariety může být reprezentován prvkem v základní doméně. Zde znamená "podlahovou" funkci x a znamená zlomkovou část . Vzhled funkce "podlaha" je zde náznakem spojení nilmanifoldů s aditivní kombinatorikou - tzv. hranaté polynomy nebo zobecněné polynomy jsou důležité ve Fourierově analýze vysokého řádu [5] .

Abelian Lieovy grupy

Nejjednodušším příkladem je jakákoli Abelova Lieova grupa. Je to proto, že každá taková skupina je nilpotentní Lieova skupina. Například můžeme vzít skupinu reálných čísel sčítáním a diskrétní kokompaktní podgrupu celých čísel. Výsledný jednokrokový nilmanifold je známý prsten . Dalším známým příkladem je kompaktní 2-torusový nebo euklidovský prostor sčítáním.

Zobecnění

Poznámky

  1. ↑ Wilson, 1982 .
  2. ↑ Milnor, 1976 , s. 293–329.
  3. ↑ Gromov, 1978 , s. 231–241.
  4. ↑ Chow, Knopf, 2004 , str. xii+325.
  5. ↑ 1 2 Green, Tao, 2010 , str. 1753–1850
  6. ↑ Host, Kra, 2005 , str. 397–488.
  7. ↑ Maltsev, 1949 , s. 9-32.
  8. ↑ Raghunathan, 1972 .
  9. ↑ Palais, Stewart, 1961 , s. 26–29.
  10. ↑ Hasegawa, 2005 , str. 749–767.
  11. ↑ Minimální diferenciální stupňovaná algebra A nad K je formální, pokud existuje morfismus diferenciálně stupňovaných algeber od A do , takový, že generuje identitu na kohomologii s primitivní d = 0 na (Hasegawa, str. 68).
  12. ↑ Hasegawa, 1989 , s. 65–71.
  13. ↑ Benson a Gordon 1988 , str. 513–518.
  14. ↑ Rollenske, 2009 , s. 425–460.

Literatura