Normální číslo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. května 2020; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Normální číslo v základu n ( ) je jakékoli reálné číslo , ve kterém se v n -ární číselné soustavě vyskytuje libovolná skupina k po sobě jdoucích číslic se stejnou asymptotickou frekvencí rovnou n - k pro každé k = 1, 2, ….

Čísla, která jsou normální, když jsou zapsána do libovolného základu n , se nazývají normální nebo absolutně normální .

Základní vlastnosti a příklady

Jakékoli racionální číslo v zápisu pro jakýkoli základ není normální. Vyplývá to z toho, že v zápisu racionálního čísla je tečka. Například 1/3 \u003d 0,33333 ... nemá v záznamu předem určenou posloupnost čísel, a proto není normální. Z toho vyplývá, že pouze iracionální čísla mohou být normálními čísly .

Protože záznam normálního čísla obsahuje libovolnou předem určenou posloupnost číslic, vyplývá z toho, že od určité digitální pozice v záznamu libovolného normálního čísla jsou zakódována všechna vytvořená i dosud nevytvořená literární díla, obrázky, filmy atd. Například v desítkovém zápisu čísla sekvence 0123456789 začíná nejprve na 17 387 594 880 desetinných místech. Doposud (od roku 2021) není známo, zda je číslo normální [1] .

Historie

Pojem normálního čísla zavedl Émile Borel v roce 1909 . Pomocí Borel-Cantelliho lemmatu dokázal, že Lebesgueova míra nenormálních čísel je rovna 0. Téměř všechna reálná čísla jsou tedy normální. Na druhou stranu čísla, která nemají v desítkovém zápisu 0, nejsou normální. Proto je množina abnormálních čísel nepočitatelná .

D. Champernowne dokázal, že číslo, které je zřetězením desetinných záznamů po sobě jdoucích celých čísel - 0,1234567891011121314151617…, je normální v základu 10 [2] . Není přitom známo, zda je toto číslo normální i z jiných důvodů. Pro podobné číslo 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, zapsané v binárním zápisu , je také dokázáno, že je normální v základu 2 [3] .

V roce 2002 Becher a Figueira [4] dokázali, že existuje spočítatelné absolutně normální číslo.

Veřejné záležitosti

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Navarro, Joaquin Tajemství pí. Proč je problém kvadratury kruhu neřešitelný. — M.: De Agostini, 2014. — 143 s. — (Svět matematiky: ve 45 svazcích, svazek 7). - ISBN 978-5-9774-0629-1 .
  2. ↑ DG Champernowne, Konstrukce desetinných míst normálních v měřítku deseti , Journal of the London Mathematical Society, sv. 8 (1933), str. 254-260
  3. ↑ Bailey, D.H.; Crandall, RE náhodné generátory a normální čísla  // Exper. Matematika. - 2002. - T. 11 . - S. 527-546 .
  4. ↑ Becher, V. & Figueira, S. (2002), Příklad vypočitatelného absolutně normálního čísla , Theoretical Computer Science vol. 270: 947–958 , DOI 10.1016/S0304-3975(01)00170-0 

Odkazy