Voigtův zápis

Voigtova notace je maticová forma zápisu symetrického tenzoru 4. řady. Poprvé jej navrhl německý fyzik Woldemar Voigt pro tenzor pružnosti při formulaci Hookova zákona pro anizotropní materiály.

Notace

Pokud má 4řadový tenzor symetrii v prvním a druhém páru indexů: $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle c_{ijkl}=c_{jikl))

{\displaystyle c_{ijkl}=c_{ijlk))

pak lze její prvky zapsat jako matici 6x6 pomocí následující substituce indexu:

11\rightarrow 1

22\rightarrow 2

33\rightarrow 3

23,32\rightarrow 4

13.31\rightarrow 5

12,21\rightarrow 6

Komponenta bude například odpovídat prvku matice . $c_{3122}$ $C_{52}$

Pomocí stejných substitucí indexů lze zapsat symetrické tenzory 2. úrovně jako 6 vektorů. Při této reprezentaci výsledek násobení tenzorů obecně neodpovídá výsledku násobení matic. Aby bylo možné operaci násobení tenzorů zapsat jako maticové násobení , může být nutné zavést další faktory.

Maticový zápis Hookova zákona

Hookeův zákon v tenzorové podobě má tvar (dále se používá Einsteinova konvence o sčítání přes opakované indexy):

{\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl))

kde a jsou tenzory napětí a napětí . Protože jsou tyto tenzory symetrické, má tenzor modulu pružnosti potřebný stupeň symetrie, aby mohl být zapsán ve formě matice. Navíc ze vztahu: $\sigma_{ij}$ ${\displaystyle \varepsilon _{kl))$ $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle c_{ijkl}={\frac {\částečný ^{2}F}{\částečný \varepsilon _{ij}\částečný \varepsilon _{kl))))

kde je volná energie $F$ [ upřesnit ] v případě izotermické deformace, nebo vnitřní energie při adiabatické deformaci, následuje . Z toho vyplývá, že lineárně nezávislých složek tenzoru elastické konstanty je pouze 21 [1] . Proto matice složená ze složek bude symetrická. Hookeův zákon lze napsat v následující podobě: ${\displaystyle c_{ijkl}=c_{klij))$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta ))$ $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle \sigma _{\alpha }=C_{\alpha \beta }\epsilon _{\beta ))

kde se indexy pohybují od 1 do 6, nebo: $\alpha ,\beta$

{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\ sigma _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1113}&c_{1112}\\\cdot &c_{2222} &c_{2233}&c_{2223}&c_{2213}&c_{2212}\\\cdot &\cdot &c_{3333}&c_{3323}&c_{3313}&c_{3312}\\\cdot &\cdot &\c {2323}&c_{2313}&c_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1313}&c_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{ 1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2 \varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}

V tomto zápisu je koeficient 2 pro složky tenzoru deformace , nezbytný pro to , aby maticové rovnice přesně odpovídaly rovnicím tenzoru. Například v Hookeově zákoně rovnice pro komponent obsahuje člen , který v maticovém zápisu odpovídá členu . $\varepsilon _{23}$ $\varepsilon _{13}$ $\varepsilon _{12}$ $\sigma_{11}$ ${\displaystyle c_{1123}\varepsilon _{23}+c_{1132}\varepsilon _{32))$ $c_{1123}2\varepsilon _{23}$

Hookeův zákon lze napsat v ekvivalentní formě tenzoru, pokud jde o tenzor modulu pružnosti : ${\displaystyle s_{ijkl))$

{\displaystyle \varepsilon _{ij}=s_{ijkl}\sigma _{kl))

Tenzor se vyznačuje stejným stupněm symetrie jako . Proto lze její složky zapsat i jako matici 6x6 prvků. Tato matice však nebude inverzní k matici . ${\displaystyle s_{ijkl))$ $c_{{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta ))$

Inverzní maticová rovnice , kde , je následující: ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }=S_{\alpha \beta }\sigma _{\beta ))$ $S=C^{-1}$

{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\ \2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1113}&2s_{1112}\\\cdot &s_ {2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2213}&2s_{2212}\\\cdot &\cdot &s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3313}&2s_\cdot &\c{3312}\ \cdot &4s_{2323}&4s_{2313}&4s_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1313}&4s_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot cdot &4s_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\ \\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}

Transformace rotace

Při přechodu z kartézského systému souřadnic do systému kartézských souřadnic rotací se složky tenzoru elastických konstant transformují podle následujícího vzorce v souladu s transformací tenzoru čtvrtého řádu [2] : ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3))$ ${\displaystyle x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },x_{3}^{\prime ))$

{\displaystyle C'_{ijkl}=n_{i\alpha }n_{j\beta }n_{k\gamma }n_{l\delta }C_{\alpha \beta \gamma \delta ))

Příklady

Tenzor pružnosti izotropního materiálu: elastické vlastnosti jsou určeny 2 konstantami (v tomto příkladu Lameho konstanty a ): $\lambda$ $\mu$

{\begin{pmatrix}\lambda +2\mu &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2\mu &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2\ mu &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{pmatrix}}

Tenzor pružnosti materiálu s hexagonální symetrií: těleso s hexagonální symetrií je charakterizováno přítomností osy symetrie (v tomto případě ), při otáčení kolem které se vlastnosti nemění; je popsána 5 nezávislými elastickými konstantami: $x_{3}$

{\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1122}&c_{1111}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1133}&c_3_{113 }&0&0&0\\0&0&0&c_{2323}&0&0\\0&0&0&0&c_{2323}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{2}}(c_{1111}-c_{1122})\\\\end{pmatrix

Jednotková matice odpovídá jednotkovému "symetrizujícímu" tenzoru : $já$

I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})

Poznámky

↑ Filtry povrchových akustických vln (výpočet, technologie a aplikace) = Filtry povrchových vln: návrh, konstrukce a použití / Ed. V. B. Akpambetová. - M . : Rádio a komunikace, 1981. - S. 11. - 472 s. - 5000 výtisků.
↑ Witold Novácký. Teoria Sprezystosci . Panstowe Wydawnitctwo Naukowe (1970). Staženo 17. prosince 2019. Archivováno z originálu 17. prosince 2019. (neurčitý)

Literatura

M. A. Akivis, V. V. Goldberg. Tenzorový počet . - M. : Nauka, 1969. - 352 s.
V. Novatský. Teorie pružnosti / přel. B. E. Pobedrya . — M .: Mir, 1975. — 871 s.
T. D. Shermergaard. Teorie elasticity mikronehomogenních prostředí. - M. : Nauka, 1977. - 399 s.