Zobecněná metoda momentů

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. března 2017; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Zobecněná metoda momentů ( GMM ; anglicky GMM - Generalized Method of Moments ) je metoda používaná v matematické statistice a ekonometrii k odhadu neznámých parametrů rozdělení a ekonometrických modelů, která je zobecněním klasické metody momentů . Metodu navrhl Hansen v roce 1982. Na rozdíl od klasické metody momentů může být počet vazeb větší než počet odhadovaných parametrů.

Esence metody

Nechť rozdělení náhodného vektoru x závisí na nějakém vektoru neznámých parametrů b (počet parametrů je k ). Nechť existují také funkce g(x, b) (jejich počet q není menší než počet odhadovaných parametrů), nazývané momentové funkce (nebo jednoduše momenty ), u nichž se z teoretických úvah předpokládá, že

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

Základní myšlenkou metody momentů je použít v momentových podmínkách namísto matematických očekávání jejich vzorové analogy - vzorové prostředky

${\hat {m}}(b)=\overline {g(x,b)},$

který podle zákona velkých čísel musí za dostatečně slabých podmínek asymptoticky konvergovat k matematickým očekáváním. Protože počet podmínek pro momenty je v obecném případě větší než počet odhadovaných parametrů, nemá tento systém omezení jednoznačné řešení.

Zobecněná metoda momentů (GMM) je odhad, který minimalizuje pozitivně-definitivní kvadratický tvar z podmínek vzorku na momenty, ve kterých se místo matematických očekávání používají průměry vzorku:

${\hat {b}}_{{GMM}}=\arg \min _{{b}}{\hat {m}}(b)^{T}W{\hat {m}}(b),$

kde W je nějaká symetrická pozitivně definitní matice.

Hmotnostní matice může být libovolná (s přihlédnutím k pozitivní definitivnosti), ale bylo to prokázáno , že nejúčinnější jsou odhady GMM s váhovou maticí rovnou inverzní kovarianční matici momentových funkcí . Jedná se o tzv. efektivní GMM . $W=V_{g}^{{-1}}$

Protože však tato kovarianční matice není v praxi známa, používá se dvoukrokový postup ( dvoukrokový GMM - Hansen, 1982):

Krok 1. Parametry modelu jsou odhadnuty pomocí GMM s maticí jednotkové hmotnosti.

Krok 2. Na základě vzorových dat a hodnot parametrů nalezených v prvním kroku se odhadne kovarianční matice momentových funkcí a výsledný odhad se použije v efektivním GMM. ${\hat {V}}_{g}=\overline {g(x,{\hat {b}})g(x,{\hat {b}})^{T}}$

V tomto dvoufázovém postupu lze pokračovat ( iterativní GMM ): pomocí odhadů parametrů modelu ve druhém kroku se znovu odhadne momentová kovarianční matice a znovu se aplikuje efektivní GMM atd., dokud není dosaženo požadované přesnosti.

Je také možné přistoupit k numerické minimalizaci účelové funkce s ohledem na neznámé parametry . Parametry i kovarianční matice jsou tedy vyhodnocovány současně. Jedná se o tzv. Continuously Updated GMM (Hansen, Heaton, Yaron, 1996). ${\klobouček {m}}^{T}(b){\klobouček {V}}_{g}^{{-1}}(b){\klobouček {m}}(b)$ $b$

Vlastnosti metody

Odhady zobecněné metody momentů za dostatečně slabých podmínek jsou konzistentní, asymptoticky normální a odhady efektivního GMM jsou také asymptoticky účinné. Dá se to ukázat

{\sqrt {n}}({\hat b}_{{GMM}}-b){\xarrowarrow {d}}N(0,V_{{b}}).

Obecně

$V_{{b}}=(G^{T}WG)^{{-1}}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{{-1}}$

kde G je očekávání matice prvních derivací g s ohledem na parametry. V případě efektivního GMM je vzorec pro kovarianční matici výrazně zjednodušen:

$V_{b}=G^{T}V_{g}^{{-1}}G.$

J-test

Při používání GMM je důležitým testem přehnaná identifikace omezení (J-test) . Nulová hypotéza je, že podmínky (omezení) na momenty platí (tj. předpoklady modelu jsou správné). Alternativou je, že se mýlí.

Testovací statistika se rovná hodnotě účelové funkce GMM vynásobené počtem pozorování. S nulovou hypotézou

$J=n{\hat {m}}^{T}({\hat {b}}){\hat {V}}_{g}^{{-1}}{\hat {m}}({ \hat {b))))~{\xšipka doprava {d}}~\chi ^{2}(qk).$

Pokud jsou tedy statistické hodnoty větší než kritická hodnota rozdělení na dané hladině významnosti , pak jsou omezení zamítnuta (model je neadekvátní), jinak je model uznán jako adekvátní. $\chi ^{2}(qk)$

Viz také

Literatura

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometrie. Počáteční kurz. - M. : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .