Zobecněné Fresnelovy integrály

Zobecněné Fresnelovy integrály ( Böhmerovy integrály ) jsou speciální funkce, které zobecňují Fresnelovy integrály . Představil Peter Böhmer v roce 1939 [1] .

Zobecněný Fresnelův kosinus:

\operatorname {C} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\cos(t)\,dt

Zobecněný Fresnelův sinus:

\operatorname {S} (x,y)=\int _{x}^{\infty }t^{y-1}\sin(t)\,dt

V souladu s tím jsou obvyklé Fresnelovy integrály vyjádřeny v termínech Böhmerových integrálů takto:

\operatorname {S} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {S} \left(y ^{2},{\frac {1}{2}}\right)

\operatorname {C} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {C} \left(y ^{2},{\frac {1}{2}}\right)

Prostřednictvím zobecněných Fresnelových integrálů lze také vyjádřit integrální sinus a integrální kosinus :

\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {S} (x,0)

\operatorname {Ci} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {C} (x,0)

Literatura

KB Oldham, JC Myland,J. Španěl. Atlas funkcí . - 2. vyd. - Springer, 2008. - 748 s.

Poznámky

↑ P.E. Bohmer. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale (německy) . - Lipsko, KF Koehler Verlag, 1939. - 148 S.