Reverzní prvek

Inverzní prvek je termín v obecné algebře , který zobecňuje pojmy reciprokého čísla (pro násobení) a opačného čísla (pro sčítání).

Definice

Dovolit je množina , na které je definována binární operace , označená tečkou ( ), s neutrálním prvkem . Dovolit je dvojice libovolných prvků množiny . Pokud je rovnost pravdivá, pak se nazývá pravá inverzní (nebo pravá inverzní ) k . $(M,\cdot )$ $M,$ $\cdot$ $E$ $x, y$ $M$ $x\cdot y=e,$ $y$ $X$

Podobně, pokud platí rovnost, pak se nazývá levá inverzní (obrácená zleva) k $y\cdot x=e,$ $y$ $X.$

Prvek , který je inverzní k pravému i levému prvku, tedy prvku, který se jednoduše nazývá inverzní k a je označen . Prvek, pro který existuje inverzní prvek, se nazývá invertibilní . $y\in M$ $X$
$x\cdot y=y\cdot x=e,$
$X$ $x^{{-1}}$

Poznámky

Výše uvedená definice je uvedena v multiplikativní notaci. Pokud se používá aditivní zápis , pak se inverzní prvek nazývá opačný prvek a označuje se . $(M+)$ $-X$
Obecně řečeno, stejný prvek může mít více levých inverzí a více pravých inverzí a levá se nemusí shodovat s pravou. $x\v M$

Vlastnosti

Nechť je operace asociativní . Pokud má prvek levý inverzní a pravý inverzní prvek, pak jsou stejné a jedinečné. $\cdot$ $x\v M$

Důsledek : v monoidu má každý prvek nejvýše jednu inverzi. Všechny invertibilní prvky monoidu tvoří skupinu ; tato skupina není prázdná, protože obsahuje alespoň neutrální prvek.

Příklady

Hodně	binární operace	Reverzní prvek
Reálná čísla	$+$ ( přídavek )	$-X$ ( opačné číslo )
Reálná čísla nerovna nule	$\cdot$ ( násobit )	$1/x$ ( reciproční )
Zobrazit funkce $f:M\to M$	$\circ$ ( funkční složení )	$f^{-1}$ ( inverzní funkce )

Viz také

Skupina