Poincarého mapování

V dynamické teorii systémů , odvětví matematiky , Poincaré mapa (také mapa posloupnosti , první návratová mapa ) je projekce nějaké oblasti ve fázovém prostoru na sebe (nebo na jinou oblast) podél trajektorií (fázové křivky) systému.

Uvažujme určitou část povrchu ve fázovém prostoru ( Poincarého sekce ) transverzální k vektorovému poli systému (to znamená, že se pole nedotýká; často se říká jednoduše transversální ). Z bodu na transversále uvolníme trajektorii systému. Předpokládejme, že v určitém bodě trajektorie poprvé znovu protnula transverzál; označte průsečík . Poincarého mapování bodu spojuje první návratový bod s . Pokud se trajektorie uvolněná z nikdy nevrátí do transverzálu, pak Poincarého mapa v tomto bodě není definována.

Podobně lze definovat Poincarého mapování (následné mapování) nejen z transverzálu k sobě samému, ale také z jedné transverzály na druhou.

Iterace Poincarého mapování z nějakého transverzálu na sebe tvoří dynamický systém s diskrétním časem na fázovém prostoru nižší dimenze. Vlastnosti tohoto systému úzce souvisí s vlastnostmi původního systému se spojitým časem (např. pevné a periodické body Poincarého mapy odpovídají uzavřeným trajektoriím systému). Vzniká tak spojení mezi vektorovými poli a jejich toky na jedné straně a iteracemi mapování na straně druhé. Poincarého mapa je důležitým nástrojem pro studium dynamických systémů se spojitým časem.

Viz také

reflexní funkce

Odkazy