Paradox pólu a stodoly ( paradox stodoly a pólu , paradox žebříku ) je myšlenkový experiment v rámci speciální teorie relativity . Uvažuje o tyči letící rovnoběžně se zemí, a proto podléhá Lorentzově kontrakci délky . Díky tomu se sloup vejde do stodoly, do které by se normálně nevešel. Na druhou stranu z pohledu sloupu se stodola pohybuje, zatímco je sloup v klidu. Pak se délka stodoly zkrátí a tyč, již příliš dlouhá, do stodoly nevstoupí. Zdánlivý paradox vyplývá z předpokladu absolutní simultánnosti. Takže sloup je umístěn ve stodole, pokud jsou oba konce sloupu uvnitř stodoly současně. V relativistice je současnost relativní, takže otázku, zda je sloup ve stodole, je třeba zvážit s ohledem na každého pozorovatele, jak na sloup, tak na stodolu. Tím je paradox vyřešen.
V nejjednodušší verzi paradoxu je stodola s otevřenými dveřmi vpředu i vzadu a sloup, který se do stodoly v klidu nevejde. Urychlíme tyč na vysokou horizontální rychlost střelbou přes stodolu. Díky vysoké rychlosti se tyč zkracuje a výrazně se zkracuje. V důsledku toho, létání přes stodolu, je tyč na nějakou dobu zcela umístěna uvnitř. Abychom to ukázali, mohli bychom zavřít obě dveře stodoly současně, když je sloup uvnitř.
Zatím nebyl pozorován žádný paradox. Vzniká tehdy, uvažujeme -li stejný efekt z pohledu pólu. Protože se pozorovatel na pólu pohybuje vzhledem k inerciální vztažné soustavě stodoly konstantní rychlostí, je vztažná soustava tohoto pozorovatele také inerciální. Podle principu relativity tedy platí stejné fyzikální zákony pro vztažnou soustavu pólu. Pak si pro tyč odpočine a bouda na něj naopak letí velkou rychlostí. To znamená, že délka stodoly je zmenšena a můžeme dojít k závěru, že během svého rozpětí stodola nemohla plně pojmout stožár. Nemůžeme tedy zavřít vrata od stodoly z obou stran ohrazením tyče dovnitř. Tento rozpor obsahuje paradox.
Řešení paradoxu spočívá v relativitě simultánnosti: co je současně v jedné vztažné soustavě (například stodola), může být v jiné (v tomto případě pólu) nesoučasné. Když říkáme, že se tyč "vejde" do kůlny, máme na mysli to, že přední i zadní hrana tyče byla uvnitř kůlny současně. Vzhledem k tomu, že současnost je relativní, ve dvou různých vztažných soustavách by pól mohl buď pasovat, nebo ne, a pozorovatelé v obou soustavách by měli pravdu. Z pohledu stodoly byly přední i zadní část tyče v určitém okamžiku uvnitř stodoly, takže tyč pasovala. Z pohledu sloupu však tyto události nenastaly současně a sloup se do stodoly nevešel.
To lze snadno zjistit, pokud v referenčním rámci stodoly, jakmile stožár zcela vstoupí do stodoly, se dveře na krátkou dobu současně zavřou. V referenčním systému pólu dochází k následujícímu. S otevřenými dveřmi se přední část tyče dostane k zadním dveřím stodoly. Tyto dveře se zavřou a poté otevřou, což umožní tyči proletět. Po nějaké době letí zadní konec tyče k předním dveřím stodoly a přední dveře se zase zavírají a otevírají. To ukazuje, že vzhledem k tomu, že současnost je relativní, obě dveře nemusí být nutně zavřené současně a sloup nemusí zcela zapadnout do kůlny.
Dobrým příkladem toho, co se děje, je níže uvedený Minkowského diagram . Je postaven v referenčním rámci stodoly. Svislý modrý rozsah ukazuje časoprostor stodoly, červený rozsah ukazuje časoprostor pólu. Osy x a t pro stodolu a x' a t' pro tyč jsou zodpovědné za prostor a čas.
V referenčním rámci stodoly je v každém okamžiku pól na diagramu zobrazen jako vodorovná čára rovnoběžná s osou x, uvnitř červeného rozsahu. Tlustá modrá čára ležící v modrém segmentu stodoly představuje sloup, když je zcela ve stodole. Avšak v referenční soustavě pólu jsou současné události umístěny podél čar rovnoběžných s osou x'. Poloha pólu v libovolném okamžiku je tedy vyjádřena průsečíkem těchto čar s červeným segmentem. Jak můžete vidět na diagramu, tlustá červená čára není nikdy zcela v modrém rozsahu, což znamená, že tyč není nikdy zcela ve stodole.
Ve složitější verzi paradoxu je možné tyč fyzicky uzamknout ve stodole, jakmile je do ní zcela zasunuta. K tomu předpokládejme, že v referenčním rámci kůlny jsou zadní dveře zavřené, to znamená, že se tyč okamžitě zastaví v okamžiku kolize s ní [1] [2] . V okamžiku kontaktu se uzavřou i vchodové dveře a v důsledku toho dojde k úplnému uzamčení sloupu uvnitř kůlny. Vzhledem k tomu, že relativní rychlost tyče je nulová, již nepodléhá kontrakci délky a nyní přesáhne délku stodoly. V důsledku toho se sloup nevejde do stodoly.
Výše uvedená úvaha implikovala skutečnost, že délka sloupu v jeho vlastním referenčním systému přesahuje délku stodoly. Jak tedy bylo možné zavřít obě vrata stodoly a udržet sloup uvnitř?
Zde stojí za zmínku obecná vlastnost relativistiky: když jsme uvážili vztažnou soustavu stodoly, došli jsme k závěru, že tyč do ní skutečně uzamkneme. Pak to musí platit i v jiných vztažných soustavách, protože pól se nemůže zlomit v jednom snímku a zůstat nedotčený v jiném. K vyřešení rozporu je třeba najít vysvětlení, proč se podařilo sloup zamknout uvnitř stodoly.
To je vysvětleno následovně. Navzdory skutečnosti, že v CO sloupu se všechny jeho části zastaví současně, v CO stodoly, kvůli relativitě simultánnosti, k těmto akcím dochází v různých časech. Jinými slovy, části hole současně nemění rychlost, nejprve zpomalí přední část, poté zadní [1] [3] . Ve chvíli, kdy je zadní konec zabrzděn, je tyč již zcela ve stodole.
Co když zadní dveře stodoly zůstanou vždy zavřené? Nechť je tak pevný, že když s ním narazí, sloup se okamžitě zastaví, aniž by ho prorazil. Pak, ve scénáři popsaném výše, nastane bod v CO stodoly, kde sloup zcela zapadne do stodoly, než narazí do zadních dveří. V ST sloupu je však příliš velký na to, aby se vešel do kůlny, takže v době, kdy narazí na zeď, zadní část sloupu stále nedosahuje ke vchodovým dveřím kůlny. Vypadá to jako paradox. Otázka zní: bude zadní konec sloupu přecházet přední dveře stodoly nebo ne?
Potíž vyvstává z předpokladu, že tyč je absolutně pevná, to znamená, že si zachovává svůj tvar při jakémkoli nárazu. Poláci v každodenním životě jsou docela pevné a nepružné. Vlastnost absolutní integrity by však znamenala, že se síla šíří objektem nekonečně vysokou rychlostí. Jinými slovy, pokud je předmět zatlačen z jedné strany, druhá se okamžitě pohne. Tím je porušen princip relativity, který říká, že limitní rychlostí šíření fyzikálních interakcí je rychlost světla. V reálném životě je téměř nemožné postřehnout rozdíl, ale v této situaci na tomto faktu záleží. Z toho vyplývá, že ve speciální teorii relativity nemůže být objekt absolutně pevný.
V tomto případě v okamžiku, kdy přední konec sloupu narazí na zadní dveře stáje, zadní konec o tom ještě "neví" a pokračuje v pohybu (a sloup se "scvrkne"). Jak ve vztažné soustavě stodoly, tak ve vlastní vztažné soustavě sloupu se zadní část sloupu pohybuje v okamžiku dopadu alespoň tak dlouho, dokud síla rychlosti světla nedosáhne konce sloupu. V tu chvíli bude tyč ve skutečnosti ještě kratší, než byla v důsledku zkrácení délky, takže zadní konec tyče už bude v kůlně. Popsané je potvrzeno výpočty v obou referenčních systémech.
Zůstává nejisté, co se stane, když síla dosáhne zadního konce tyče (zelená oblast v diagramu). Tyč se může roztrhnout na malé kousky, a pokud je dostatečně elastická, natáhne se zpět do původní délky a vypadne ze zadních dveří stodoly.
Zvažovaný paradox původně navrhl a vyřešil Wolfgang Rindler [1] . V původní formulaci rychle běžící člověk, jehož roli hraje dlouhá tyč, spadne do jámy [4] . Předpokládá se, že tyč je zcela nad jámou, než zrychlení stáhne každý bod tyče dolů.
Z pohledu jámy dochází k podélné kontrakci na délku a je umístěn v jámě. Z pohledu tyče se však délka jámy zmenší a v důsledku toho tyč nebude moci spadnout do jámy.
Ve skutečnosti zrychlení tahající dolů současně všechny body pólu v CO jámy táhne body, které nejsou současně ve vlastním CO pólu. V referenční soustavě tyče se nejprve přední konec tyče zrychlí směrem dolů a poté její další nekonečně malé části postupně k zadnímu konci. V důsledku toho se tyč ohne ve své referenční soustavě. Je třeba zdůraznit, že jelikož je pól ohnut ve své vlastní inerciální vztažné soustavě, dochází ke skutečnému fyzickému ohybu, doprovázenému viditelným napětím pólu ve všech CO.
Zvažte složitější paradox, ve kterém se akce odehrává v neinerciálních vztažných soustavách. Nejprve se člověk pohybuje vodorovně a poté spadne. Osoba (segmentovaná tyč) je fyzicky deformována, protože tyč se v jednom SO ohne a ve druhém zůstane rovná. Tyto aspekty vnášejí do paradoxu souvisejícího s tuhostí pólu nové problémy, stírají hlavní podstatu zdánlivého rozporu. Podobný, ale jednodušší problém, ve kterém se vyskytují pouze inerciální vztažné soustavy, byl nazván paradox ring-bar (Ferraro 2007). Tyč, která je o něco delší než průměr kroužku, se pohybuje nahoru doprava. Dlouhá osa tyče je umístěna ve vodorovné rovině, rovnoběžné s rovinou prstence. Prsten je v tuto chvíli v klidu. Pokud se během pohybu tyče její střed v určitém bodě shoduje se středem prstence, tyč se působením Lorentzovy kontrakce délky zkrátí a projde prstencem. Při uvažování stejné situace v SR prutu se objevuje paradox. Nyní se prstenec pohybuje dolů doleva a stahuje se podél své délky vodorovně. Délka tyče zůstane stejná. Jak potom tyč projde prstencem?
Řešení paradoxu spočívá v relativitě simultánnosti (Ferraro 2007). Délka fyzického objektu je definována jako vzdálenost mezi dvěma současnými událostmi na obou koncích těla. Z relativity simultánnosti tedy vyplývá relativita podélné délky předmětu podél osy pohybu, určená Lorentzovou kontrakcí délky. Podobně se pomocí tří simultánních dějů určí fyzikální úhel, který bude také relativní. Ve výše popsaném paradoxu, navzdory skutečnosti, že roviny prstence a pólu jsou v CO prstence vzájemně rovnoběžné, rovnoběžnost není zachována v CO tyče. Tyč, která nepodléhá zkrácení, prochází zkráceným prstencem pouze proto, že se rovina prstence otáčí vzhledem k tyči.
Matematicky řečeno, Lorentzovy transformace lze rozložit na součin prostorové rotace a „správné“ Lorentzovy transformace, ve které žádná prostorová rotace neexistuje. Matematicky je paradox prstence a tyče řešitelný, protože součin dvou správných Lorentzových transformací může dát transformaci, která se ukáže jako nesprávná. Taková transformace bude obsahovat složku zodpovědnou za prostorovou rotaci.