Míchání (dynamické systémy)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. srpna 2019; kontroly vyžadují 3 úpravy .

V teorii dynamických systémů je míchání vlastností systému „zapomenout“ informace o počátečním stavu v průběhu času. Přesněji se rozlišuje topologické a metrické míchání. První odkazuje na teorii spojitých systémů a zhruba řečeno říká, že bez ohledu na to, jak přesně je známa počáteční poloha bodu, postupem času se jeho možné umístění stále více zhušťuje. Druhý odkazuje na teorii měřitelných systémů - systémů, které zachovávají nějakou míru - a uvádí, že distribuce je absolutně spojitá s ohledem na míru (například omezení na danou podmnožinu $\mu$ $\mu$ $\mu$ počáteční podmínky) při iteracích směřuje k samotnému měření . $\mu$

Nechť je atraktor chaotického systému, na kterém je uveden operátor evoluce systému a invariantní míra . Segmentujeme atraktor do 2 oblastí a Poměr míry bodů z oblasti , které se přes iterace evolučního operátoru dostaly do oblasti, lze zapsat následovně: $G$ $S(G)$ $\mu$ $B$ $W.$ $B$ $n$ $S$ $W,$

$D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W))).$

Operátor evoluce je směšovací, jestliže at , hodnota nezávisí na volbě oblasti a je určena vztahem at . Tento vzorec z fyzikálního hlediska popisuje rozmazání jakékoli oblasti počátečních podmínek nad všemi atraktory . V limitě, , je míra obrazů bodů množiny v množině rovna míře množiny na atraktoru pro libovolné množiny a [1] $S$ $n\rightarrow \infty$ $D_{n}$ $W,$ ${\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)))\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)} }$ $n\rightarrow \infty$ $B$ $G$ $n\rightarrow \infty$ $B$ $W$ $B$ $G$ $B$ $W.$

Definice

Topologické míchání

Podle definice se o (kontinuálním) dynamickém systému říká , že se topologicky míchá , pokud pro jakékoli dvě neprázdné otevřené množiny , $f:X\to X$ $A,B\subset X$

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,

nebo, což je totéž,

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,

Konkrétně to znamená, že pro jakoukoli danou a neprázdnou otevřenou množinu se všechny iterace s dostatečně velkým číslem ukáží jako -husté ve fázovém prostoru. $\varepsilon >0$ $A$ $A$ $\varepsilon$

Topologické míchání je silnější vlastnost než tranzitivita . Iracionální rotace kruhu je tedy tranzitivní , ale nemíchá se.

Metrické míchání

Podle definice se o měření zachovávajícím měřitelné mapování říká , že je metricky směšující , pokud pro jakékoli dvě měřitelné množiny , $f:(X,{\mathcal {A)],\mu )\to (X,{\mathcal {A)),\mu )$ $A,B\in {\mathcal {A}}$

\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .

Pokud jde o integrovatelné funkce, je to ekvivalentní tvrzení, že pro jakékoli dvě funkce , $\varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )$

\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \ cdot \int _{X}\psi \,d\mu .

Ergodicita míry je nutnou, ale ne postačující podmínkou pro metrické míchání. Iracionální rotace kruhu tedy zachovává jeho ergodickou Lebesgueovu míru , ale není metricky směšována. $\mu$

Viz také

Tranzitivita (dynamické systémy)
Spektrální teorie dynamických systémů

Poznámky

↑ M.Yu.Logunov, O.Ya.Butkovsky. Míchání a Ljapunovovy exponenty chaotických systémů.

Literatura

Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V., Ergodická teorie.
Sinai Ya.G., Moderní problémy ergodické teorie, Moskva: FizMatLit, 1995, s. 24.
Katok A. B. , Hasselblat B. Úvod do moderní teorie dynamických systémů / přel. z angličtiny. A. Kononěnko za účasti S. Ferlegera. - M. : Factorial, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .