Invariantní míra

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. června 2018; kontroly vyžadují 5 úprav .

Invariantní míra - v teorii dynamických systémů míra definovaná ve fázovém prostoru , spojená s dynamickým systémem a neměnící se v průběhu času během vývoje stavu dynamického systému ve fázovém prostoru . Pojem invariantní míry se používá při průměrování pohybových rovnic , v teorii Ljapunovových exponentů , v teorii metrické entropie a pravděpodobnostních fraktálních dimenzích [1] .

Definice

V teorii dynamických systémů , míra na prostoru je řekl, aby byl invariantní pro měřitelné zobrazení jestliže to se shoduje s jeho obrazem [2] . Podle definice to znamená, že $\mu$ $(X,\Sigma)$ $f:(X,\Sigma)\to (X,\Sigma)$ $f_* \mu$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f^{-1}(A)). \qquad(*)

U reverzibilních zobrazení lze přechod do předobrazu v (*) nahradit přechodem do obrazu: pokud je i mapování měřitelné ve smyslu , pak je definice ekvivalentní $f^{-1}$ $(X,\Sigma)$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f(A)).

V obecné situaci však nelze definici tímto způsobem změnit: Lebesgueova míra na kružnici je invariantní při mapování zdvojení , ale míra oblouku se liší od míry jejího obrazu . $S^{1}$ $x\mapsto 2x \mod 1$ $[0,1/3]$ $[0,2/3]$

Příklady

Displej [3] . Perron-Frobeniova rovnice pro ni má tvar . Dosazením tohoto výrazu na jeho pravou stranu dostaneme: . Opakováním této substituce jednou dostaneme: . Tato míra je stabilní, to znamená, že k ní bude konvergovat libovolná spojitá míra. $x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})$ $p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{2}}\vpravo)\vpravo]$ $p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{4}}\right)+p\left({\frac {x+2}{4}}\right)+p\left({\frac {x+3}{4}}\right)\right ]$ $n$ $p(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+ i }{2^{n}}}\doprava)\xšipka doprava {n\to \infty } \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1$
Zobrazte nebo , [4] . Existence stabilní spojité invariantní míry c je prokázána obdobně. $x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\in [-1,1]$ $x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|$ $x\in [0,1](1)$ $p(x)=\mathrm {const}$
Logistické mapování , [4] . Nahradíme , , dostaneme , , které lze převést do tvaru (1). Proto existuje spojitá konstantní hustota pravděpodobnosti . Z toho plyne hustota pravděpodobnosti pro : . ${\displaystyle x_{n+1}=1-2x_{n}^{2))$ $x\in [-1,1]$ $x=-\cos \pi \theta$ $\theta \in [0,1]$ ${\displaystyle -\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n))$ $\theta _{n+1}={\begin{cases}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2 \theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ $\theta$ $p(\theta )=1$ $X$ $p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}$