Smyčka v topologickém prostoru X je souvislé zobrazení f jednotkového segmentu I = [0,1] do X tak, že f (0) = f (1). Jinými slovy jde o cestu , jejíž počáteční bod je stejný jako koncový bod [1] .
Na smyčku lze také nahlížet jako na spojité zobrazení f jednotkové kružnice S 1 až X , protože S 1 lze považovat za podílový prostor I ztotožněním 0 s 1.
Nechť X je topologický prostor, x 0 ∈ X . Spojité zobrazení l : S 1 → X takové, že l(1) = x 0 se nazývá kruhová smyčka v x 0 [2] . Každá kruhová smyčka v bodě x 0 může být spojena se smyčkou v prostoru X ve stejném bodě tím, že vezmeme složení l s zobrazením I → S 1 daným vzorcem t →e 2πit . Z kruhové smyčky lze tímto způsobem získat jakoukoli smyčku.
Kruhové smyčky se nazývají homotopické (nebo ekvivalentní ), pokud jsou {1}-homotopické (tj. pokud je homotopie mezi nimi spojena v bodě 1 ∈ S 1 ). Odpovídající třídy ekvivalence se nazývají třídy homotopických smyček.
Neprázdný topologický prostor se nazývá jednoduše spojený , pokud je propojen s cestou a každá smyčka v něm je homotopická vůči konstantní smyčce [2] .
Sada homotopických tříd smyček v bodě tvoří skupinu s operací kompozice cesty. Tato grupa se nazývá fundamentální grupa prostoru X ve vyznačeném bodě x 0 .
Množina všech smyček v X tvoří prostor nazývaný smyčkový prostor X [1] .