Plückerovy souřadnice jsou souřadnice (množiny čísel), které definují podprostory (libovolné dimenze) vektorového nebo projektivního prostoru . Jsou zobecněním homogenních souřadnic bodů v projektivním prostoru a jsou také definovány až do násobení libovolným nenulovým faktorem. Poprvé představen Plückerem v konkrétním případě projektivních čar v trojrozměrném projektivním prostoru, což odpovídá i případu vektorových prostorů.
Dovolit být -rozměrný podprostor -rozměrného vektorového prostoru . Pro určení Plückerových souřadnic podprostoru volíme libovolnou bázi v a libovolnou bázi v . Každý vektor má souřadnice v základu , tedy . Zapsáním souřadnic vektorů jako řetězců dostaneme matici
jehož hodnost je . Značí se moll matice sestávající ze sloupců s čísly nabývajícími hodnoty od do . Čísla nejsou nezávislá: pokud je množina indexů získána z permutace , pak nastává rovnost , kde znaménko plus nebo mínus odpovídá tomu, zda je permutace sudá nebo lichá. Až do násobení společným nenulovým faktorem se množina čísel pro všechny uspořádané sady indexů , které nabývají hodnot od do, nazývá Plückerovy souřadnice podprostoru .
1. Nezávislost na volbě základu .
Pokud je v podprostoru zvolena jiná báze , pak bude nová sada Plückerových souřadnic vypadat jako , kde je nějaký nenulový faktor. Ve skutečnosti nový základ souvisí se starými vztahy a determinant matice je nenulový. Podle definice Plückerových souřadnic a věty o determinantu součinu matic máme , kde .
2. Grassmannův .
Přiřadíme-li každému dimenzionálnímu podprostoru sadu jeho Plückerových souřadnic , přiřadíme nějaký bod projektivního prostoru dimenze . Takto zkonstruovaná mapa je injektivní , ale ne surjektivní (to znamená, že její obraz se neshoduje s celým prostorem ). Obraz množiny všech- dimenzionálních podprostorů -dimenzionálního prostoru pod mapováním je -dimenzionální projektivní algebraická varieta v , nazývaná Grassmannova varieta nebo Grassmannian a označovaná nebo .
3. Plückerovy vztahy .
Kritériem, podle kterého lze určit, zda daný bod projektivního prostoru náleží Grassmannovi , jsou takzvané Plückerovy vztahy :
kde všechny indexy v množinách a nabývají hodnot od do , znaménko označuje vynechání indexu pod ním. Tento součet se získá, pokud je z množiny jeden po druhém odebrán jeden index a tento index je přiřazen napravo od množiny , pak se dvě výsledná čísla vynásobí (všimněte si, že tato čísla jsou vedlejšími čísly matice , ale nemusí být nutně Plückerovy souřadnice, protože množiny jejich indexů nejsou nutně řazeny vzestupně) a pak se vezme součet všech takových součinů se střídavými znaménky. Plückerovy vztahy platí pro každý - dimenzionální podprostor . A naopak, pokud homogenní souřadnice , , nějakého bodu projektivního prostoru splňují tyto vztahy, pak tento bod, když je namapován , odpovídá nějakému podprostoru , tedy patří do .
V řeči matic to znamená: pokud čísla splňují Plückerovy vztahy, pak existuje matice, pro kterou jsou minoritní maximálního řádu, a pokud ne, pak žádná taková matice neexistuje. To řeší problém možnosti obnovení matice od jejích minoritních hodnot maximálního řádu až po lineární transformaci řádků.
V případě a máme , a proto má každá rovina ve 4-rozměrném vektorovém prostoru Plückerovy souřadnice: , , , , , . Volba základny v rovině takovým způsobem, že a , získáme matici
odkud najdeme:
, , , , , .Je zřejmé, že existuje souvislost
,který je zachován, když jsou všechny vynásobeny jakýmkoli společným faktorem, to znamená, že nezáleží na volbě základu. Jedná se o Plückerův vztah, který definuje projektivní kvadriku v 5-rozměrném projektivním prostoru.