Plückerovy souřadnice

Plückerovy souřadnice jsou souřadnice (množiny čísel), které definují podprostory (libovolné dimenze) vektorového nebo projektivního prostoru . Jsou zobecněním homogenních souřadnic bodů v projektivním prostoru a jsou také definovány až do násobení libovolným nenulovým faktorem. Poprvé představen Plückerem v konkrétním případě projektivních čar v trojrozměrném projektivním prostoru, což odpovídá i případu vektorových prostorů. $M$ $L$ $\dim M=2$ $\dim L=4$

Definice v souřadnicích

Dovolit být -rozměrný podprostor -rozměrného vektorového prostoru . Pro určení Plückerových souřadnic podprostoru volíme libovolnou bázi v a libovolnou bázi v . Každý vektor má souřadnice v základu , tedy . Zapsáním souřadnic vektorů jako řetězců dostaneme matici $M$ $m$ $n$ $L$ $M$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $L$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ $M$ $a_{i}$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $(a_{i1},\;\ldots ,\;a_{in})$ ${\displaystyle a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n))$ $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},

jehož hodnost je . Značí se moll matice sestávající ze sloupců s čísly nabývajícími hodnoty od do . Čísla nejsou nezávislá: pokud je množina indexů získána z permutace , pak nastává rovnost , kde znaménko plus nebo mínus odpovídá tomu, zda je permutace sudá nebo lichá. Až do násobení společným nenulovým faktorem se množina čísel pro všechny uspořádané sady indexů , které nabývají hodnot od do, nazývá Plückerovy souřadnice podprostoru . $m$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $A$ ${\displaystyle i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $jeden$ $n$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $(i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})$ ${\displaystyle \sigma \in S_{m))$ $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}$ $\sigma$ ${\displaystyle C_{n}^{m))$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $jeden$ $n$ $M$

Vlastnosti

1. Nezávislost na volbě základu .

Pokud je v podprostoru zvolena jiná báze , pak bude nová sada Plückerových souřadnic vypadat jako , kde je nějaký nenulový faktor. Ve skutečnosti nový základ souvisí se starými vztahy a determinant matice je nenulový. Podle definice Plückerových souřadnic a věty o determinantu součinu matic máme , kde . $M$ ${\displaystyle a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $C$ ${\displaystyle a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m))$ $(a'_{ij})$ $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ $c=\det(a'_{ij})$

2. Grassmannův .

Přiřadíme-li každému dimenzionálnímu podprostoru sadu jeho Plückerových souřadnic , přiřadíme nějaký bod projektivního prostoru dimenze . Takto zkonstruovaná mapa je injektivní , ale ne surjektivní (to znamená, že její obraz se neshoduje s celým prostorem ). Obraz množiny všech- dimenzionálních podprostorů -dimenzionálního prostoru pod mapováním je -dimenzionální projektivní algebraická varieta v , nazývaná Grassmannova varieta nebo Grassmannian a označovaná nebo . $m$ $M$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ $M$ $P$ $C_{n}^{m}-1$ $G$ $P$ $m$ $n$ $G$ $m(nm)$ $P$ $G(m,\;n)$ $\mathrm {Gr} _{m}(L)$

3. Plückerovy vztahy .

Kritériem, podle kterého lze určit, zda daný bod projektivního prostoru náleží Grassmannovi , jsou takzvané Plückerovy vztahy : $P$ $G(m,\;n)$

\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r)) \cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r))},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \, (j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),

kde všechny indexy v množinách a nabývají hodnot od do , znaménko označuje vynechání indexu pod ním. Tento součet se získá, pokud je z množiny jeden po druhém odebrán jeden index a tento index je přiřazen napravo od množiny , pak se dvě výsledná čísla vynásobí (všimněte si, že tato čísla jsou vedlejšími čísly matice , ale nemusí být nutně Plückerovy souřadnice, protože množiny jejich indexů nejsou nutně řazeny vzestupně) a pak se vezme součet všech takových součinů se střídavými znaménky. Plückerovy vztahy platí pro každý - dimenzionální podprostor . A naopak, pokud homogenní souřadnice , , nějakého bodu projektivního prostoru splňují tyto vztahy, pak tento bod, když je namapován , odpovídá nějakému podprostoru , tedy patří do . $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $jeden$ $n$ ${\breve {))$ $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ $p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m))=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m))$ $A$ $m$ $M\subset L$ $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$ ${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{m))$ $P$ $G$ $M\subset L$ $G(m,\;n)$

V řeči matic to znamená: pokud čísla splňují Plückerovy vztahy, pak existuje matice, pro kterou jsou minoritní maximálního řádu, a pokud ne, pak žádná taková matice neexistuje. To řeší problém možnosti obnovení matice od jejích minoritních hodnot maximálního řádu až po lineární transformaci řádků. $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m))$

Příklad

V případě a máme , a proto má každá rovina ve 4-rozměrném vektorovém prostoru Plückerovy souřadnice: , , , , , . Volba základny v rovině takovým způsobem, že a , získáme matici $n=4$ $m=2$ $C_{4}^{2}=6$ $M$ $6$ $p_{12}$ $p_{13}$ $p_{14}$ $p_{23}$ $p_{24}$ $p_{34}$ $M$ ${\displaystyle a_{1},\;a_{2))$ $a_{1}=e_{1}$ $a_{2}=e_{2}$

A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix)),

odkud najdeme:

p_{12}=1

, , , , , .

p_{13}=\gamma

p_{14}=\delta

p_{23}=-\alpha

p_{24}=-\beta

p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma

Je zřejmé, že existuje souvislost

p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0

který je zachován, když jsou všechny vynásobeny jakýmkoli společným faktorem, to znamená, že nezáleží na volbě základu. Jedná se o Plückerův vztah, který definuje projektivní kvadriku v 5-rozměrném projektivním prostoru. $p_{i_{1}i_{2))$ $G(2,\;4)$

Literatura

Kartan E. Vnější diferenciální systémy a jejich geometrické problémy. - M . : nakladatelství MSU, 1962.
Zelikin MI Homogenní prostory a Riccatiho rovnice ve variačním počtu. - M .: Factorial, 1998.
Hodge V., Pido D. Metody algebraické geometrie. - T. 1. - M. : IL, 1954. (Zde se Plückerovy souřadnice nazývají Grassmannovy souřadnice).
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. — M .: Fizmatlit, 2009.
Casas-Alvero E. Analytická projektivní geometrie. - : European Mathematical Society, 2014.