Povrch Inoue

Povrch Inoue je nějaký komplexní Kodairův povrch třídy VII . Povrchy jsou pojmenovány po Masahita Inoue, který poskytl první netriviální příklady povrchů Kodaira třídy VII v roce 1974 [1] .

Plochy Inoue nejsou Kählerovy rozdělovače .

Inoue plochy s b 2 = 0

Inoue dal tři rodiny povrchů, S 0 , S + a S − , což jsou kompaktní faktory (součiny komplexní roviny a poloroviny). Tyto Inoueovy plochy jsou řešitelné manifoldy . Získají se jako faktor nad řešitelnou diskrétní grupou, která působí holomorfně na . ${\mathbb {C} }\times H$ ${\mathbb {C} }\times H$ ${\mathbb {C} }\times H$

Všechny rozlišitelné plochy, které Inoue zkonstruoval, mají druhé Betti číslo . Tyto povrchy jsou Kodairovy povrchy třídy VII , což znamená, že pro ně je Kodairův rozměr roven . Jak prokázali Bogomolov [2] , Li - Yau [3] a Telemann [4] , jakýkoli povrch třídy VII s b 2 = 0 je Hopfův povrch nebo rozpustný rozdělovač typu Inoue. $b_{2}=0$ $b_{1}=1$ $-\infty$

Tyto povrchy nemají meromorfní funkce ani křivky.

K. Hasegawa [5] uvedl seznam všech komplexních dvourozměrně řešitelných variet. Jedná se o komplexní torus , hypereliptickou plochu , Kodairův povrch a Inoueovy plochy S 0 , S + a S − .

Inoue povrchy jsou konstruovány explicitně, jak je popsáno níže [5] .

Povrchy typu S 0

Nechť je celočíselná matice 3 × 3 se dvěma komplexními vlastními čísly a skutečným vlastním číslem c>1 a . Pak je invertibilní v celých číslech a určuje akci skupiny celých čísel na . Nechte _ Tato grupa je mřížkou v řešitelné Lieově grupě $\phi$ $\alpha ,{\bar {\alpha ))$ $|\alpha |^{2}c=1$ $\phi$ ${\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{3))$ $\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }$

{\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }

působící na , zatímco skupina působí na -část převody a na -část jako . ${\displaystyle {\mathbb {C} } \times {\mathbb {R} ))$ $({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$

Tuto akci rozšíříme na nastavením , kde t je parametr -part skupiny . Akce je triviální na faktor v . Tato akce je zjevně holomorfní a faktor se nazývá Inoueova plocha typu S 0 . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} } \times {\mathbb {R} }^{>0))$ $v\mapsto e^{\log ct}v$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} ))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0))$ ${\mathbb {C} } \times H/\Gamma$

Inoueova plocha S 0 je definována volbou celočíselné matice s výše uvedenými omezeními. Takových povrchů je nespočet. $\phi$

Povrchy typu S +

Nechť n je kladné celé číslo a je skupina horních trojúhelníkových matic $\Lambda _{n}$

{\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix)),

kde x, y, z jsou celá čísla. Uvažujme automorfismus , který označujeme . Faktor skupiny v jejím středu C je . Předpokládejme, že funguje jako matice se dvěma kladnými reálnými vlastními čísly a, b s ab = 1. $\Lambda _{n}$ $\phi$ $\Lambda _{n}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2))$ $\phi$ ${\displaystyle \Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2))$

Uvažujme řešitelnou skupinu s , působící jako . Identifikací skupiny horních trojúhelníkových matic s , získáme akci na . Definujeme akci na s triviálním jednáním na -part a působí jako . Stejné argumenty jako pro plochy typu Inoue ukazují, že tato akce je holomorfní. Faktor se nazývá povrch typu Inoue . ${\displaystyle \Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} ))$ ${\mathbb {Z} }$ $\Lambda _{n}$ $\phi$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3))$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} ))$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} } \times {\mathbb {R} }^{>0))$ $\Lambda _{n}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0))$ ${\mathbb {Z} }$ $v\mapsto e^{t\log b}v$ $S^{0}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n))$ $S^{+}$

Povrchy typu S −

Plochy typu Inoue $S^{-}$ jsou definovány stejně jako S + , ale dvě vlastní čísla a, b automorfismu působícího na mají opačná znaménka a platí rovnost ab = −1. Protože druhá mocnina takového endomorfismu definuje Inoueovu plochu typu S + , Inoueova plocha typu S − má nerozvětvený dvojitý obal typu S + . $\phi$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2))$

Parabolické a hyperbolické Inoueovy povrchy

Parabolické a hyperbolické povrchy Inoue jsou povrchy třídy VII Kodaira definované Iku Nakamurou v roce 1984 [6] . Nejsou to řešitelné odrůdy. Tyto povrchy mají kladné druhé číslo Betti. Povrchy mají kulové skořepiny a lze je deformovat do podoby Hopfova povrchu .

Parabolické Inoueovy plochy obsahují cyklus racionálních křivek s 0 vlastními průniky a eliptickou křivku. Jsou speciálním případem povrchů Enoki, které mají cyklus racionálních křivek s nulovými vlastními průniky, ale žádnou eliptickou křivku. Poloplocha Inoue obsahuje cyklus C racionálních křivek a je faktorem hyperbolické Inoueovy plochy se dvěma cykly racionálních křivek.

Hyperbolické Inoueovy plochy jsou plochy třídy VII 0 se dvěma cykly racionálních křivek [7] .

Poznámky

↑ Inoue, 1974 , s. 269-310.
↑ Bogomolov, 1976 , str. 273–288.
↑ Li, Yau, 1987 , str. 560-573.
↑ Teleman, 1994 , s. 253-264.
↑ 12 Hasegawa , 2005 , str. 749-767.
↑ Nakamura, 1984 , str. 393-443.
↑ Nakamura, 2008 .

Literatura

Keizo Hasegawa. Komplexní a Kahlerovy struktury na kompaktních Solvmanifolds // J. Symplectic Geom.. - 2005. - Vol.3 , no. 4 . - S. 749-767 .
Bogomolov, F.A., Klasifikace povrchů třídy VII 0 s b 2 = 0 , Izv. Akademie věd SSSR. - 1976. - T. 40 , čís. 2 .
Li J., Yau S., T. Hermitian Yang-Mills připojení na ne-Kahlerových rozdělovačích // Math. aspekty teorie strun (San Diego, Kalifornie, 1986). — Adv. Ser. Matematika. Phys.. - World Scientific Publishing, 1987. - Vol. 1.
Nakamura I. Na plochách třídy VII 0 s křivkami // Inventiones math.. - 1984. - T. 78 .
Inoue M. Na površích třídy VII 0 // Inventiones math.. - 1974. - T. 24 .
Teleman A. Projektivně rovné plochy a Bogomolovova věta o -plochách třídy VII 0 // Int. J. Math .. - 1994. - V. 5 , no. 2 .
Nakamura I. Průzkum povrchů VII 0 // Nedávný vývoj v NonKaehlerově geometrii . — Sapporo, 2008.