Givens zase

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Daná rotace - v lineární algebře , lineární operátor pro otáčení vektoru o nějaký daný úhel .

Givensova matice [1] [2] [3]

Givensova matice má následující tvar: ${\displaystyle G_{kl))$

$G_{kl}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\cos {\ phi }&\cdots &-\sin {\phi }&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &\sin {\phi }&\cdots &\ cos {\phi }&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix))$

Tato matice se liší od matice identity pouze podmaticí

$M(\phi )={\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix))$

umístěné na řádcích a sloupcích s čísly a . Je ortogonální. $k$ $l$

Je-li dán vektor , pak výběr $a={\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$ $s={\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))}\neq 0$

cos ⁡ ϕ = A k A k 2 + A l 2 {\displaystyle \cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} $\cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))$ hřích ⁡ ϕ = − A l A k 2 + A l 2 {\displaystyle \sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} $\sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))$

můžete nastavit th komponentu vektoru na nulu : $l$ $A$

[ cos ⁡ ϕ − hřích ⁡ ϕ hřích ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ] [ A k A l ] = [ cos ⁡ ϕ ⋅ A k − hřích ⁡ ϕ ⋅ A l hřích ⁡ ϕ ⋅ A k + cos ⁡ ϕ ⋅ A l ] = [ A k 2 + A l 2 A k 2 + A l 2 − A l ⋅ A k + A k ⋅ A l A k 2 + A l 2 ] = [ A k 2 + A l 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix)){\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi }\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatrix}}}

{\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix)){\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi }\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatrix}}

Pomocí Givensových rotací lze vypočítat QR rozklad matic a nakreslit hermitovské matice do tridiagonální formy.

Použití Givensových matic pro tridiagonalizaci

Chceme redukovat symetrickou matici na tridiagonální tvar: $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1p}&\cdots &a_{1q}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \ \a_{p1}&\cdots &a_{pp}&\cdots &a_{pq}&\cdots &a_{pn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{q1}&\cdots &a_{ qp}&\cdots &a_{qq}&\cdots &a_{qn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{np}&\cdots &a_{nq}& \cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

kde . Pak to vynásobíme Givensovou rotační maticí: . je transponovaná matice. Tím se změní pouze prvky a $a_{pq}=a_{qp}$ $G'_{pq}(\theta )AG_{pq}(\theta )$ $G$ $a_{pp}$ ${\displaystyle a_{pq))$ ${\displaystyle a_{qq))$

${\displaystyle a'_{pp}=c^{2}a_{pp}+2csa_{pq}+s^{2}a_{qq))$

${\displaystyle a'_{pq}=sc(a_{qq}-a_{pp})+(c^{2}-s^{2})a_{pq))$

${\displaystyle a'_{qq}=s^{2}a_{pp}-2csa_{pq}+c^{2}a_{qq))$

Prvočíslo zde označuje prvek, který se objeví po otočení. Zvolme koeficienty a tak, aby mimodiagonální prvek byl nastaven na nulu a vztah mezi as a $C$ $s$ $C$ $s$ $\cos \phi$ $\sin \phi$

Pak: $\phi =1/2\tan ^{-1}(2a_{pq}/(a_{pp}-a_{qq}))$

$c=\cos \phi$

$s=\sin\phi$

Takové otočení se aplikuje postupně, aby se vynulovaly všechny prvky prvního řádku, kromě prvních dvou. To znamená, (1,2), (1,3), (1,4)...(1,n) Pak druhý řádek (2,3), (2, 4)...(2 ,n)

C++ kód:

for ( unsigned int i = 0 ; i < N -1 ; ++ i ) { for ( unsigned int j = i + 2 ; j < N ; ++ j ) { t = 2 * matr [ i ][ j ] / ( matr [ i ][ i ] - matr [ j ][ j ]); fí = 0,5 * atan ( t ); c = cos ( pí ); s = hřích ( phi ); bii = c * c * matr [ i ][ i ] + 2 * c * s * matr [ i ][ j ] + s * s * matr [ j ][ j ]; bij = s * c * ( matr [ j ][ j ] - matr [ i ][ i ]) + matr [ i ][ j ] * ( c * c - s * s ); bjj = s * s * matr [ i ][ i ] + c * c * matr [ j ][ j ] - 2 * c * s * matr [ i ][ j ]; bji = bij ; matr [ i ][ i ] = bii ; matr [ i ][ j ] = bij ; matr [ j ][ i ] = bji ; matr [ j ][ j ] = bjj ; } }

Poznámky

↑ Tyrtyshnikov E. E. Metody numerické analýzy. - M. , 2006. - S. 73-74.
↑ Björck, Åke, 1934-. Numerické metody pro úlohy s alespoň čtverci . - Philadelphia: SIAM, 1996. - S. 121-123. — xvii, 408 stran s. - ISBN 0-89871-360-9 , 978-0-89871-360-2.
↑ Demmel, James W. Aplikovaná numerická lineární algebra . - Philadelphia: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, 1997. - S. 53-56. — xi, 419 stran str. - ISBN 0-89871-389-7 , 978-0-89871-389-3, 0-89871-361-7, 978-0-89871-361-9.