Limit opakování

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. listopadu 2014; kontroly vyžadují 8 úprav .

Je možné aplikovat limit na jednu z proměnných na funkci několika proměnných s pevnými hodnotami ostatních proměnných. Opakovaný limit je výsledkem provedení takové operace s každou proměnnou. $f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ $\ {{x}_{k}}$

Zatímco limita funkce se počítá, protože všechny argumenty mají tendenci ke svým limitům současně, opakovaná limita je získána jako výsledek série po sobě jdoucích přechodů limit pro každý argument zvlášť.

Definice

Uvažujme funkci dvou proměnných definovaných v nějakém proraženém okolí bodu . Pro každou pevnou hodnotu proměnné zvažte limit: $f\left(x,y\right)$ $\left({{x}_{0}}, {{y}_{0}}\right)$ $X$

\varphi \left(x\right)={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right )

Budeme předpokládat, že existuje a je definován pro každou hodnotu . Výsledkem je funkce jedné proměnné. Nyní zvažte limit : $\varphi \left(x\right)$ $X$ $\varphi \left(x\right)$

A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,\varphi \left(x\right)

Pokud tato limita existuje, pak říkáme, že existuje opakovaná limita funkce v bodě . $A$ $f\left(x,y\right)$ $\left({{x}_{0}}, {{y}_{0}}\right)$

A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {y\to {{y}_{0}}} {\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)

Podobně můžeme nejprve opravit proměnnou a vzít limit na proměnnou . V tomto případě také dostaneme opakovaný limit, ale obecně řečeno jiný: $y$ $X$

B={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {x\to {{x}_{0}}} {\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)

Tuto definici lze také rozšířit na funkce několika proměnných . $f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}\right)$

Rovnost opakovaných limitů

Nechť je funkce definována v děrovaném okolí bodu . Jestli existuje (konečná nebo ne) dvojitá mez $f(x,y)$ $(a,b)$

\lim \limits _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=A

a pokud pro kterékoli z proražených sousedství bodu existuje konečná mez $y$ $A$ $X$

\varphi (y)=\lim _{x\to a}f(x,y)

pak existuje iterační limit

$\lim _{y\to b}\varphi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$

a rovná se dvojnásobku.

Viz také

Funkční limit

Literatura

Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Kapitola 14. Funkce několika proměnných // Základy matematické analýzy. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 648 s. — (Kurz vyšší matematiky a matematické fyziky). - 5000 výtisků. - ISBN 5-9221-0536-1 .
Fikhtengolts, G.M. Kapitola 5. Funkce více proměnných // Průběh diferenciálního a integrálního počtu. Svazek 1. - M. , 1962. - T. 1. - 608 s. — (Kurz diferenciálního a integrálního počtu ve 3 svazcích).