Krycí sada (teorie čísel)

V matematice , krycí soubor pro posloupnost celých čísel je soubor připraví takový že každý člen posloupnosti je dělitelný přinejmenším jedním číslem v souboru. Termín "krycí sada" se používá pouze pro exponenciálně rostoucí sekvence.

Sierpinski a Riesel čísla

Použití termínu „krycí sada“ souvisí se Sierpinského a Rieselovým číslem . Jedná se o lichá přirozená čísla , pro která jsou (Sierpinského číslo) nebo (Rieselovo číslo) složené. $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Od roku 1960 je známo, že existuje nekonečně mnoho čísel Sierpinského a Rieselových čísel, ale protože existuje nekonečně mnoho čísel tvaru nebo pro libovolné , pak k prokázání příslušnosti k Sierpinského a Rieselovým číslům je nutné zkontrolovat, zda jakýkoli člen posloupnosti nebo je dělitelný prvočísly krycí množiny . $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$ $k$ $k$ $k2^{n}+1$ $k2^{n}-1$

Tyto krycí množiny jsou tvořeny z prvočísel , která mají v binárním vyjádření krátkou periodu . Lze prokázat, že pro získání kompletní sady pokrytí musí být období alespoň 24 čísel.[ upřesnit ] Období délky 24 dává krycí množinu a období délky 36 dává krycí množinu: ; ; a . Riesel čísla mají stejné krycí sady jako čísla Sierpinski. ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,17,241\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,37,73,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,37,109\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,19,73,109\,\))$ ${\displaystyle \{\,3,5,7,13,37,73,109\,\))$

Ostatní krycí sady

Krycí sady se také používají k prokázání existence složených Fibonacciho sekvencí (sekvence bez prvočísel ).

Koncept krycích množin lze snadno zobecnit na další sekvence. V následujících příkladech se + používá stejným způsobem jako v regulárních výrazech - znamená 1 nebo více. Například 91 + 3 znamená sadu {913, 9113, 91113, 911113…}

Příkladem je sekvence:

$(82\cdot 10^{n}+17)/9$ nebo $91^{+}3$
$(85\cdot 10^{n}+41)/9$ nebo $94^{+}9$
$(86\cdot 10^{n}+31)/9$ nebo $95^{+}9$

V každém případě je každý člen dělitelný jedním z prvočísel {3,7,11,13}. Tato prvočísla tvoří krycí sadu přesně jako u čísel Sierpinski a Riesel.

Ještě jednodušším případem je následující sekvence:

$(76\cdot 10^{n}-67)/99$ ( n musí být liché ) nebo [Sekvence: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767 atd.] $(76)^{+}7$

Lze ukázat, že:

Jestliže , pak (s příslušným počtem opakování) je dělitelné 7. $n=6k+1$ $(76)^{+}7$
Jestliže , pak je dělitelné 13. $n=6k+3$ $(76)^{+}7$
Jestliže , pak je dělitelné 3. $n=6k+5$ $(76)^{+}7$

Máme tedy krycí sadu pouze tří prvočísel {3,7,13}. To bylo možné pouze proto, že jsme stanovili podmínku, že n musí být liché.

Krycí sadu najdete také v pořadí:

$(343\cdot 10^{n}-1)/9$ nebo . ${\displaystyle 381^{+))$

Lze ukázat, že:

Jestliže , pak je dělitelné 3. $n=3^{k}+1$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Jestliže , pak je dělitelné 3. $n=3^{k}+2$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$
Pokud , pak se rozloží na . ${\displaystyle n=3^{k))$ $(343\cdot 10^{n}-1)/9$ $((7\cdot 10^{k}-1)/3)\cdot ((49\cdot 10^{2}k+7\cdot 10^{k}+1)/3)$

Protože to lze zapsat jako , pro posloupnost máme krycí množinu - krycí množinu s nekonečným počtem členů. $(7\cdot 10^{k}-1)/3$ ${\displaystyle 23^{+))$ ${\displaystyle 381^{+))$ ${\displaystyle \{\,3,37,23^{+}\,\))$

Odkazy

Plateau and Depression Primes Archivováno 26. července 2013 na Wayback Machine
Čísla podobná Sierpinskému Archivováno 17. července 2012 na Wayback Machine
Yves Gallot, Hledání několika malých čísel Archivováno 9. dubna 2016 na Wayback Machine
Louis Helm lhelm. Phil Moore, Payam Samidoost, George Woltman. Řešení smíšeného Sierpińského problému Archivováno 12. března 2016 na Wayback Machine , INTEGERS: Elektronický žurnál kombinatorické teorie čísel 8 (2008), #A61