Pole rozkladu

Rozkladné pole polynomu p nad polem je nejmenší rozšíření pole, nad kterým se rozkládá na součin lineárních faktorů: $K$ $L$ $K,$ $p$

p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),

kde

x_{1},\tečky ,x_{n}\in L\supseteq K.

V tomto případě se jedná o maximální možné pole, všechny prvky, kde lze vytvořit sčítání a násobení prvků pole a čísel jak mezi sebou, tak mezi sebou. Proto se o rozkladném poli mluví jako o rozšíření získaném přičtením ke všem kořenům daného polynomu. $L=K(x_{1},\tečky ,x_{n}),$ $K$ $x_1,\tečky,x_n$ $L$ $K$

Podobně zavedeme koncept rozkladného pole pro rodinu polynomů , rozšíření L takové, že každé p i se rozloží v L [ x ] na lineární faktory a L je generováno přes K všemi kořeny p i . Rozkladné pole konečné množiny polynomů p 1 , p 2 , …, p n bude zjevně rozkladným polem jejich součinu p=p 1 p 2 …p n . $p_{i}(x),i\in I$

Expanzní pole je normální rozšíření . Navíc každé normální rozšíření může být reprezentováno jako pole rozkladu nějaké rodiny polynomů.

Vlastnosti

Rozkladné pole konečné rodiny polynomů je konečným algebraickým rozšířením pole . $K$
Rozkladné pole polynomu existuje pro jakoukoli rodinu polynomu p i a je jednoznačně definováno až do izomorfismu , který je identický na K .

Příklady

Pokud stupeň polynomu nepřesáhne , pak . $p$ $jeden$ $L=K$
Pole komplexních čísel $\mathbb {C}$ slouží jako expanzní pole polynomu nad polem reálných čísel . $x^{2}+1$ $\mathbb {R}$
Jakékoli konečné pole , kde , je pole expanze polynomu nad jednoduchým podpolem . $GF(q)$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $GF(p)\subset GF(q)$

Literatura

Van der Waerden B.L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967