Soukromé pole

Pole kvocientů (také nazývané pole relací ) v obecné algebře je definováno pro obor integrity jako nejmenší pole [1] [2] obsahující pole kvocientů pro lze označit buď $R$ $R.$ $R$ $\operatorname {Frac} (R)$ $\operatorname {Quot} (R).$

Prvky kvocientového pole lze (jedinečně) konstruktivně konstruovat z prvků jako třídy ekvivalence nějaké binární relace (viz níže). $R$

Příklady

Klasickým příkladem domény integrity je kruh celých čísel ; jeho nejmenší rozšíření na těleso dává těleso racionálních čísel ${\mathbb Q}.$
Vezměme jako kruh gaussovských celých čísel tvaru , kde jsou obyčejná celá čísla. Pak je pole racionálních Gaussových čísel. $R$ $a+bi,$ $a,b$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \))$
Pole podílů pro libovolné pole je izomorfní s původním polem.
Nechť je pole. Pak je okruh polynomů s koeficienty z tohoto pole vždy doménou integrity. Pole kvocientů pro se označuje a nazývá se polem racionálních funkcí [3] . $K$ $K[X]$ $K[X]$ $K(X)$

Konstrukce

Pole kvocientů pro oblast integrity je konstruováno stejným způsobem jako pole racionálních čísel na základě kruhu celých čísel [4] (viz Racionální číslo#Formální definice ). Uvažujme množinu uspořádaných dvojic prvků a definujme na ní vztah ekvivalence , jako pro zlomky: páry a jsou ekvivalentní, pokud je pole kvocientů definováno jako množina tříd ekvivalence ( podílový kruh ). Třída obsahující pár bude analogicky s obyčejnými zlomky označena nebo $R$ $a,b\in R\ (b\neq 0)$ $(a,b)$ $(c,d)$ $ad=bc.$ $\operatorname {Frac} (R)$ $(a,b),$ $a/b$ ${a \over b}.$

Součet a je definován jako u zlomků: Násobení je definováno podobně: Je snadné jej zkontrolovat [4] : ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$ ${\frac {ad+bc}{bd)).$ ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.$

výsledky těchto operací nezávisí na výběru zástupců v jejich třídě ekvivalence;
sčítání je reverzibilní, to znamená, že odečítání je vždy možné;
třídy a hrají roli nula, respektive jedničky; $0/b$ $a/a$
všechny axiomy prstenu jsou splněny.

Proto je komutativní prsten . Obsahuje prsten izomorfní s původním prstencem - pro důkaz porovnáme třídu obsahující pár $\operatorname {Frac} (R)$ $R$ $a\in R$ $a/1.$

Dále zjistíme, že každá nenulová třída má inverzní prvek , který je jednoznačně definovaný (v tomto bodě důkazu se používá absence nulových dělitelů ) a tato skutečnost znamená, že dělení je možné. Vybudovaná struktura je tedy pole. ${a \over b}$ ${b\over a},$ $\operatorname {Frac} (R)$

Pole kvocientů pro danou oblast integrity je jedinečné až do izomorfismu [4] .

Podobnou konstrukci lze provést pro jakýkoli komutativní kruh, výsledkem je kruh zlomků , který obecně řečeno není pole - mezi jeho prvky mohou být i nevratné.

Vlastnosti

Pole částečných prstenců splňuje následující univerzální vlastnost : jestliže h : → je injektivní homomorfismus prstenců od ' do pole , pak existuje jedinečný prstencový homomorfismus g : → který se shoduje s h na prvcích . Tuto univerzální vlastnost lze vyjádřit následujícími slovy: pole kvocientů je standardní způsob, jak učinit prvky prstenu invertovatelnými , respektive prstenec kvocientů je standardní způsob, jak učinit některou podmnožinu prvků prstence invertovatelnými . $R$ $R$ $F$ $R$ $F$ $\operatorname {Quot} (R)$ $F$ $R$

Z hlediska teorie kategorií lze konstrukci kvocientového pole popsat následovně. Uvažujme kategorii, jejíž objekty jsou doménami integrity a jejichž morfismy jsou injektivní homomorfismy kruhů. Do této kategorie je zařazen funktor zapomnění z kategorie polí (protože všechny homomorfismy polí jsou injektivní). Ukazuje se, že tento funktor má levé adjunkt a integrálnímu kruhu přiřazuje jeho obor zlomků.

Poznámky

↑ Zarissky, Samuel, 1963 , s. 56.
↑ Stephan Foldes. Základní struktury algebry a diskrétní matematiky (anglicky) . - 1994. - S. 128.
↑ Pierre Antoine Grillet. Abstraktní algebra (neurčitá) . - 2007. - S. 124.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , str. 439-443.

Literatura

Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1. - 374 s.
Kulikov L. Ya Algebra a teorie čísel: Proc. manuál pro pedagogické ústavy. - M . : Vyšší škola, 1979. - 559 s.

Odkazy

Kostrikin AI Pole vztahů integrálního kruhu. Archivováno 7. prosince 2018 na Wayback Machine // Úvod do algebry, § 9.5.4.3.1 . M.: Nauka, 1977, s. 233-236.