Polyčísla

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. listopadu 2017; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Algebra mnohočísel je implementována prvky ve tvaru: $P_{n}$ $A\in P_{n}$

A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},

kde a je množina generátorů, které se řídí následujícími pravidly násobení (násobení je komutativní a asociativní): $A_{i}\in \mathbb {R} ,$ $e_{i}$ $P_{n}$

e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},

a sám je následující objekt ( přímý součet ):

P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R } } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.

Mnohonásobná čísla (n-čísla)

Je snadné zkontrolovat, že násobení v algebře polyčísel ve zvolené bázi je redukováno na násobení odpovídajících složek a dělení je definováno pouze pro polyčísla, která mají vše (z tohoto důvodu polyčísla netvoří číselné pole ). Algebraická jednotka má ve zvoleném základu následující reprezentaci: $A_{i}\neq 0$

{\displaystyle I=e_{1}+\tečky +e_{n))

V algebře existuje n-1 komplexních konjugačních operací . Jeden z nich může být definován následujícím pravidlem: $P_{n}$

A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n},

který redukuje na cyklickou permutaci složek polyčísla . k -tou komplexní konjugaci lze definovat vzorcem : $A$

A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast }\quad

( -krát)

k

To je zřejmé $A^{(n)}=A.$

Zvažte polyčíslo formuláře

N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},

(jeden)

kde . $A\in P_{n}$

Je snadné ověřit, že je to skutečné v tom smyslu $N(A)$

N(A)=r^{n}I,

kde .

r^{n}\in R

Číslo se nazývá (kvazi)norma polyčísla . Kvazinorma je vyjádřena pomocí souřadnic polyčísla vzorcem : $r$ $A$ $r$ $A$

r^{n}=A_{1}A_{2}\tečky A_{n}=G(A,A,\tečky ,A)

, (2)

kde je n-forma $G$

G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)

, (3)

${\klobouček {S))$ je operátor symetrizace. Tato forma je (Finsler) metrika v Berwald-Moorových prostorech . Vzorce (1)-(3) objasňují souvislost mezi algebrou mnohočetných čísel a Berwald-Moorovými prostory: metrická n-forma (3) je indukována reálnou algebraickou formou , která je vícerozměrnou analogií euklidovské kvadratické formy na komplexní rovina $N(A)$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast ))$ .

Analogicky s komplexní bilineární formou:

(\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )

kde , můžeme uvažovat o n -lineární formě $\zeta ,\xi \in \mathbb {C}$

(A,B,\tečky ,Z)={\text{Re}}(AB\tečky Z)=\sum \limits _{\sigma (A,B,\tečky ,Z)}AB^{ (1)}C^{(2)}\tečky Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\tečky },Z).\quad

(čtyři)

Zde se provádí sumace nad množinou všech permutací prvků . Poslední rovnítko v (4) (je stanoveno přímým ověřením) také odhaluje genetickou souvislost mezi algebrami polyčísel a geometriemi odpovídajících Berwald-Moorových prostorů. $\sigma (A,B,{\tečky },Z)$ ${\displaystyle A,B,{\tečky },Z\v P_{n))$

Výše popsaná algebra polynumber může být ukázána jako přímý součet případů algebry reálných čísel . Mezi všemi asociativně-komutativními algebrami je v určitém smyslu maximálně symetrická (obsahuje hyperbolické imaginární jednotky). Obecnější konstrukcí bude algebra polynumber , která je přímým součtem instancí algebry reálných čísel a instancí algebry komplexních čísel [1] . $P_{n}$ $n$ $\mathbb {R}$ $n$ $P_{n,m},$ $n$ $\mathbb {R}$ $m$ $\mathbb {C}$

Poznámky

↑ G. I. Garasko, Základy Finslerovy geometrie pro fyziky, M.: Tetru, 2009.

Literatura

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. hyperkomplexní čísla. M.: Nauka, 1973, s.138-140
M. A. Lavrentiev, B. O. Šabat. Problémy hydrodynamiky a jejich matematické modely. Moskva: Nauka, 1977.
G. I. Garasko. Základy Finslerovy geometrie pro fyziky. M.: Tetra, 2009.
S. S. Kokarev . Přednášky o Finslerově geometrii a hyperkomplexních číslech. V sobotu vědecké práce RNEC "Logos", sv. 5, Jaroslavl (2010), str. 19-121