Pologeodetické souřadnice

Semigeodesic souřadnice nebo geodesic normální souřadnice jsou souřadnice v -dimenzionální Riemannian manifold charakterizované skutečností, že souřadnicové čáry odpovídající jsou geodesics , na kterých hraje roli přirozeného parametru a povrchy souřadnic jsou ortogonální k těmto geodesics. $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $n$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}=\mathrm {const}$

V semigeodetických souřadnicích má první kvadratická forma tvar [1]

\mathrm {I} =dx_{1}^{2}+\sum _{i,j=2}^{n}g_{ij}dx_{i}dx_{j},

tedy pro všechny . $g_{11}\equiv 1$ $g_{1j}\equiv 0$ $j>1$

Příklady

Kartézské souřadnice v euklidovském prostoru jsou pologeodetické.

Lobačevského prostor připouští pologeodetické souřadnice s metrickým tenzorem
${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&e^{2\cdot x_{1}}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&e^ {2\cdot x_{1}}\end{pmatrix}}$
- Jinými slovy, -rozměrný Lobačevského prostor je izometrický vůči zakřivenému produktu . $n$ $\mathbb {R} ^{n-1}{\mathrel {{\times }_{\exp ))}\mathbb {R}$

Vlastnosti

Pologeodetické souřadnice lze zavést v dostatečně malém okolí libovolného bodu libovolné Riemannovy variety [1] .

Jakákoli kompletní jednoduše spojená varieta nekladného zakřivení připouští globální semigeodetické souřadnice s první souřadnicí rovnou Busemannově funkci .

V případě dvourozměrného povrchu (manifoldu) má první kvadratická forma v semigeodetických souřadnicích tvar [1] $u, v$ ${\displaystyle \mathrm {I} =du^{2}+B^{2}(u,v)dv^{2))$

s kladnou funkcí , zatímco Gaussova křivost povrchu se vypočítá podle vzorce

B(u,v)

K=-B_{uu}/B.

Literatura

Sh. Kobayashi, K. Nomizu . Základy diferenciální geometrie, M.: Nauka, 1981.
W. Klingenberg . Riemannovská geometrie, de Gruyter (1982).
W. Klingenberg . Kurz diferenciální geometrie, Springer (1983).
B. O'Neill . Poloriemannovská geometrie (s aplikacemi na teorii relativity), akad. Press (1983).

Odkazy

Poznámky

↑ 1 2 3 Encyklopedie matematiky