Řádově

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. června 2020; kontroly vyžadují 7 úprav .

Řád je třída ekvivalence veličin (nebo škál) vyjadřující určité veličiny, v rámci které mají všechny veličiny pevný vztah k odpovídajícím veličinám předchozí třídy. ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace$ $r={\frac {x_{n}}{x_{{n-1}}}}$

Častěji se řádem nemyslí samotná třída ekvivalence, ale některé její číselné charakteristiky, které tuto třídu za daných podmínek definují (například pořadové číslo třídy , za předpokladu, že nějaká třída byla specifikována nebo implikována). ${\mathcal {C}}_{n}$ $n$ ${\mathcal {C}}_{0}$

Pořadí čísel

Při práci s čísly reprezentovanými v určité číselné soustavě založené na , nejčastěji berte a , . Zároveň se shoduje s počtem číslic v čísle, pokud je zapsáno v poziční číselné soustavě . $b$ $r=b$ $1\in {\matematický {C}}_{1}$ $b\in {\mathcal {C}}_{2}$ $n$

Například pro systém desítkových čísel v tomto případě bude každá dekáda kladných čísel patřit pouze jednomu řádu:

${\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$
${\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace$
${\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100,200,300,400,500,600,700,800,900\rbrace$

Podobně můžete určit pořadí čísel pro další základy číselné soustavy. Nejčastěji zvažováno

základní pořadí čísel , $b=10$
základní objednávky $b=2$
základní pořadí čísel . $b=e$

Pořadí čísel v přirozeném jazyce

V přirozených jazycích existují výrazy jako „o řád více“, „o mnoho řádů více“, „o několik řádů méně“. Ve většině případů jsou dekadické exponenty implikované, to znamená, že tyto výrazy lze číst jako „přibližně desetkrát více“, „přibližně jednou více, kde je dostatečně velké“, „přibližně 100krát méně“. V poslední době se také rozšířilo chybné používání výrazu „řádu N“, kde N je určité číslo. Přitom z kontextu je zřejmé, že je myšleno „asi N“, což samozřejmě neodpovídá definici pojmu „číslo pořadí“. $10^{n}$ $n$

Pořadí čísel a logaritmická funkce

Odpovídající čísla patřící sousedním řádům lze zapsat jako , kde je první z čísel. Tato vlastnost určuje spojení mezi pojetím řádu čísla a exponenciální a inverzní logaritmickou funkcí . ${\mathcal {C}}_{{n}},{\mathcal {C}}_{{n+1}},{\mathcal {C}}_{{n+2}},\ldots ,{ \mathcal {C}}_{{n+d}}$ $x,rx,r^{2}x,\ldots ,r^{d}x$ $x\in {\mathcal {C}}_{{n}}$

Zejména pomocí konceptu logaritmické funkce lze formulovat nezbytnou podmínku, aby čísla patřila do stejného řádu: Nechť je na množině kladných čísel dáno nějaké rozdělení na řády. Pokud jsou dvě čísla stejného řádu, pak . $\left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1$

Důkaz

Ve skutečnosti nechť čísla a jsou minimální a maximální číslo patřící k objednávce . Pokud k objednávce patří i číslo , pak jeho hodnota musí splňovat podmínku . Zároveň čísla a patří k objednávkám sousedícím s objednávkou a , resp. Z toho vyplývá, že pro libovolné číslo v tomto pořadí platí vztah . $m\in {\mathcal {C}}_{n}$ $M\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $m\leq x\leq M$ $rm$ ${\frac {1}{r}}M$ ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{{n+1}}$ ${\mathcal {C}}_{{n-1}}$ $X$ ${\frac {1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm$

Nechť dvě čísla a patří do daného řádu . Pak . $x_{1}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $-1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{ \frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1$

Rozdíl v objednávce

Pokud dvě čísla a patří do řádů a v nějakém rozdělení kladných čísel do řádů, pak se hodnotě někdy říká rozdíl v řádech těchto čísel. $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}\v {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}\v {\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}$

U dvou čísel a rozdílu jejich pořadí najdeme jako u . $x_{1}$ $x_{2}$ $d=\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rpatro$ $x_{2}\geq x_{1}$

Důkaz

Vybíráme číslo patřící k objednávce a odpovídající číslu z objednávky . Podle definice řádu existuje celé číslo takové, že . Chápeme to . $x_{2}^{{\mathord {*}}}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}=r^{{-d}}x_{2}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{{\mathord {*} }}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}$

Čísla a patří do stejného řádu a tedy . Zároveň je číslo celé číslo, což znamená . $x_{1}$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}<1$ $d$ $d=\left\lpatro {}d\right\rfloor =\left\lpatro {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*)))}{x_{1 ))}\pravé\rpodlaží =\levé\lpatro \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\pravé\rpatro$

V případě rozdílu v objednávkách se někdy berou se záporným znaménkem . $x_{2}\leq x_{1}$ $d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})$

Rovnost řádového rozdílu k nule je nutnou a postačující podmínkou, aby čísla patřila do stejného řádu.

Zobecnění rozdílu objednávek

Někdy se pojem rozdílu pořadí zobecňuje, odstraňuje požadavek příslušnosti ke třídě celých čísel a definuje jej prostřednictvím výrazu . $d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$

V této interpretaci nabývají výrazy jako „čísla a neliší se o více než polovinu řádu“ význam, tedy nebo . $x_{1}$ $x_{2}$ $\left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{{\sqrt {r}}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}$

Viz také

Odkazy

Brians, Paus Řády magnitudy . Získáno 9. 5. 2013. Archivováno z originálu 22. 4. 2017. (neurčitý)
Řád velikosti . wolfram matematický svět . Získáno 3. ledna 2017. Archivováno z originálu 6. ledna 2017. (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština
V bibliografických katalozích	GND : 4388665-6